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Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei mich auf eine Prüfung vorzubereiten und habe ein Problem mit dem Beweis vom "Satz von Kronecker".
Vielleicht könnt ihr mir weiter helfen!
Der Satz lautet:
"Sei p(t) [mm] \in [/mm] K[t] irreduzibel und normiert. Der Grad sei n. Dann existiert eine Körpererweiterung [L:K]=n, so dass p eine Wurzel a [mm] \in [/mm] L hat. Dann ist p(t) das Minimalpolynom"
Den Beweis den wir dazu gemacht haben ist etwas kompliziert und mir nicht so ganz klar...
Dazu definiert man L:= K[t]/p(t)K[t] und g(t)+p(t)K[t] [mm] \in [/mm] L und zeigt, dass dies invertierbar ist. Allein schon dies ist nicht einleuchtend. Dann zeigt man, dass a:= t+p(t)K[t] eine Wurzel ist....
Weiß jemand einen anderen Beweis oder kann mir den obigen Beweis erklären?
Ich wäre sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:11 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Hallo zusammen,
> ich bin gerade dabei mich auf eine Prüfung vorzubereiten
> und habe ein Problem mit dem Beweis vom "Satz von
> Kronecker".
> Vielleicht könnt ihr mir weiter helfen!
>
> Der Satz lautet:
> "Sei p(t) [mm]\in[/mm] K[t] irreduzibel und normiert. Der Grad sei n. Dann existiert eine Körpererweiterung [L:K]=n, so dass p eine Wurzel a [mm]\in[/mm] L hat. Dann ist p(t) das Minimalpolynom"
>
> Den Beweis den wir dazu gemacht haben ist etwas kompliziert und mir nicht so ganz klar...
So kompliziert ist der auch wieder nicht.
Du brauchst zwei Schritte:
a) [mm]L = K[t]/p(t)K[t][/mm] ist ein Koerper;
b) [mm]t + p(t)K[t][/mm] ist eine Nullstelle von $p$ in $L$.
> Dazu definiert man L:= K[t]/p(t)K[t] und g(t)+p(t)K[t] [mm]\in[/mm] L und zeigt, dass dies invertierbar ist. Allein schon dies ist nicht einleuchtend.
Das ist a). Was daran ist denn nicht einleuchtend? Es ist doch [mm]K[t][/mm] ein Hauptidealbereich und [mm]p(t) K[t][/mm] ein Primideal ungleich dem Nullideal, folglich ein maximales Ideal. Daraus folgt, dass [mm]L = K[t] / p(t) K[t][/mm] ein Koerper ist.
Du kannst natuerlich auch zeigen, dass jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ invertierbar ist -- was ihr offenbar gemacht habt.
> Dann zeigt man, dass a:= t+p(t)K[t] eine Wurzel ist....
Ja.
> Weiß jemand einen anderen Beweis oder kann mir den obigen Beweis erklären?
Es gibt nicht wirklich einen anderen Beweis.
Sag doch mal, welche Stellen genau du nicht verstehst. Du studierst schliesslich Mathematik, also kannst du auch versuchen einen Beweis Schritt fuer Schritt durchzugehen und versuchen zu verstehen.
LG Felix
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