Satz von Lebesgue < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie den Limes $l:= [mm] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_I f_n(x) [/mm] dx$ mit Beweis an. (Erklären Sie warum Sie den Satz von Lebesgue benutzen können, wenn Sie ihn benutzen.)
a) [mm] $f_n(x):= e^{-(x-n)^2}$, [/mm] auf I=(-1,1).
b) [mm] $f_n(x):= e^{-(x-n)^2}$, [/mm] auf $I= [mm] \mathbb [/mm] R$.
c) [mm] $f_n(x):= [/mm] sin(2x)/x$, auf $I=(0, [mm] \infty)$
[/mm]
d) [mm] $f_n(x):= x^n(1+3x^2+8 [/mm] exp(nx))$, auf $I=(0,1)$.
e) [mm] $f_n(x):= \frac{sin(x^n)}{x^n} \frac{1}{1+x^2}$ [/mm] auf $I=(0, [mm] \infty)$
[/mm]
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Zu Aufgabe a) und b) habe ich leider keine Ahnung.
Zur Aufgabe c) denke ich nicht dass es L-messbar ist. Da [mm] $\int [/mm] sin(2x)/x [mm] \leq \int -\frac{1}{x} [/mm] = [mm] [-ln(x)]^\infty_0 \notin L((0,\infty))$ [/mm]
Stimmt das?
Zu d und e bin ich wieder ratlos.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Di 20.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie den Limes [mm]l:= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_I f_n(x) dx[/mm]
> mit Beweis an. (Erklären Sie warum Sie den Satz von
> Lebesgue benutzen können, wenn Sie ihn benutzen.)
>
> a) [mm]f_n(x):= e^{-(x-n)^2}[/mm], auf I=(-1,1).
> b) [mm]f_n(x):= e^{-(x-n)^2}[/mm], auf [mm]I= \mathbb R[/mm].
> c) [mm]f_n(x):= sin(2x)/x[/mm],
> auf [mm]I=(0, \infty)[/mm]
> d) [mm]f_n(x):= x^n(1+3x^2+8 exp(nx))[/mm], auf
> [mm]I=(0,1)[/mm].
> e) [mm]f_n(x):= \frac{sin(x^n)}{x^n} \frac{1}{1+x^2}[/mm] auf [mm]I=(0, \infty)[/mm]
>
> Zu Aufgabe a) und b) habe ich leider keine Ahnung.
>
> Zur Aufgabe c) denke ich nicht dass es L-messbar ist. Da
> [mm]\int sin(2x)/x \leq \int -\frac{1}{x} = [-ln(x)]^\infty_0 \notin L((0,\infty))[/mm]
> Stimmt das?
was schätzt Du da ab, und wieso soll mit dieser kuriösen Abschätzung dann $x [mm] \mapsto \sin(2x)/x$ [/mm] nicht in [mm] $L((0,\infty))$ [/mm] sein?
Es ist doch [mm] $\sin(2x)/x \ge [/mm] -1/x$ für jedes $x > [mm] 0\,.$
[/mm]
Aber generell:
[mm] $f\,$ [/mm] ist genau dann in [mm] $L((0,\infty))\,,$ [/mm] wenn $|f| [mm] \in L((0,\infty))$ [/mm] ist. Also vorsichtig mit Abschätzungen umgehen. Mache eine (überlegtere) für $x [mm] \mapsto |\sin(2x)/x|\,.$
[/mm]
P.S.:
Wieso ist eigentlich für jedes [mm] $n\,$ [/mm] da [mm] $f_n(x)=f(x)=\sin(2x)/x$?
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Di 20.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie den Limes [mm]l:= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_I f_n(x) dx[/mm]
> mit Beweis an. (Erklären Sie warum Sie den Satz von
> Lebesgue benutzen können, wenn Sie ihn benutzen.)
>
> a) [mm]f_n(x):= e^{-(x-n)^2}[/mm], auf I=(-1,1).
> b) [mm]f_n(x):= e^{-(x-n)^2}[/mm], auf [mm]I= \mathbb R[/mm].
> c) [mm]f_n(x):= sin(2x)/x[/mm],
> auf [mm]I=(0, \infty)[/mm]
> d) [mm]f_n(x):= x^n(1+3x^2+8 exp(nx))[/mm], auf
> [mm]I=(0,1)[/mm].
> e) [mm]f_n(x):= \frac{sin(x^n)}{x^n} \frac{1}{1+x^2}[/mm] auf [mm]I=(0, \infty)[/mm]
>
> Zu Aufgabe a) und b) habe ich leider keine Ahnung.
>
> Zur Aufgabe c) denke ich nicht dass es L-messbar ist.
Du meinst integrierbar, und nicht "es", sondern die Funktion.
> Da
> [mm]\int sin(2x)/x \leq \int -\frac{1}{x} = [-ln(x)]^\infty_0 \notin L((0,\infty))[/mm]
> Stimmt das?
ne, Deine Abschätzung ist nicht gut (dass $x [mm] \mapsto \sin(x)/x$ [/mm] nicht in [mm] $L((0,\infty))$ [/mm] ist, stimmt aber). Wenn Du mal ![[]](/images/popup.gif) hier
schaust, so siehst Du, dass das Integral im Riemann-Sinne existiert. Aber mit diesem Artikel hier gelangst Du vll. zu einer Kenntniss, wie es im Lebesgue-Sinne mit dem Integral aussieht.
D.h.:
Beachte, dass es wesentliche Unterschiede zwischen einem R-Integral und einem L-Integral geben kann, siehe etwa hier.
Zu guter letzt:
Viel interessantes auch in diesem Artikel.
P.S.:
Beachte auch:
[mm] $$\sin(2x)/x=2*\sin(2x)/(2x)\,,$$
[/mm]
und $x [mm] \mapsto \sin(2x)/(2x)$ [/mm] ist sicher auch nicht in [mm] $L((0,\infty))$ [/mm] (Warum? Substitution bei
[mm] $$\int_{(0,\infty)} \sin(2x)/2x\; [/mm] dx$$
und das Wissen, dass [mm] $\int_{(0,\infty)} \sin(y)/y \;dy$ [/mm] nicht existiert (arbeite die Links gründlich durch!) macht dies offensichtlich. Also ist $x [mm] \mapsto 2*\sin(2x)/(2x)$ [/mm] sicher auch nicht in [mm] $L((0,\infty))\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Mi 21.07.2010 | | Autor: | sveny-boi |
Vielen Dank hat mir sehr geholfen. Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 24.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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