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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:22 Di 05.02.2013 | | Autor: | ThomasTT |
| Aufgabe | | Satz von Lie: Sei L eine komplexe Lie Unteralgebra von gl(V) mit V endlich dimensional über [mm] $\IC$. [/mm] Wenn L auflösbar ist, dann gibt es eine Basis zu welcher jedes Element in L die Form einer oberen Dreiecksmatrix hat. |
Nun meinte unser Prof, dass dieser Satz nur über Körpern mit char = 0 klappt und es "etliche" Gegenbeispiele für Körper mit char = p gibt. Folgende Algebra sollten wir uns näher anschauen:
$L=span(A,B)$ mit [mm] $A=\pmat{ 0 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & 2& & \\ & & & \ddots &\\ & & & & p-1 }$ [/mm] und [mm] $B=\pmat{ 0 & 1 & & & \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & & & 1\\ 1 & 0 & \cdots & 0 }$
[/mm]
Ich konnte bereits zeigen, dass L auflösbar ist, denn $[AB]=AB-BA=...=-B$ und daher [mm] $L^{(1)}=span(B)$ [/mm] und wegen $[BB]=0$ folgt [mm] $L^{(2)}=0$. [/mm] Doch mir ist noch nichts eingefallen um zu zeigen, dass es keine solche Basis gibt (wie im Satz beschrieben). A ist diagonal, also auch eine Dreiecksmatrix. Es muss also irgendwie über B gehen.
Hat jemand einen Tipp?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Di 05.02.2013 | | Autor: | ThomasTT |
Ich meine eine Lösung zu haben:
Die Einheitsvektoren [mm] $e_i$ [/mm] for [mm] $1\le i\le [/mm] p$ sind die Eigenvektoren von $A$ und bilden eine Basis von $V$. Aber keiner der Vektoren [mm] $e_i$ [/mm] ist ein Eigenvektor von $B$, denn [mm] $Be_i=0\ \forall [/mm] i$. Also gibt es keine Basis in $V$, so dass $A$ und $B$ gleichzeitig obere Dreiecksmatrizen sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Mi 06.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich meine eine Lösung zu haben:
>
> Die Einheitsvektoren [mm]e_i[/mm] for [mm]1\le i\le p[/mm] sind die
> Eigenvektoren von [mm]A[/mm] und bilden eine Basis von [mm]V[/mm]. Aber
> keiner der Vektoren [mm]e_i[/mm] ist ein Eigenvektor von [mm]B[/mm], denn
> [mm]Be_i=0\ \forall i[/mm]. Also gibt es keine Basis in [mm]V[/mm], so dass [mm]A[/mm]
> und [mm]B[/mm] gleichzeitig obere Dreiecksmatrizen sind.
Es gibt zwei Gruende, warum das nicht reicht:
1) die Aussage $B [mm] e_i [/mm] = 0$ fuer alle $i$ ist falsch: denn dann waere $B = 0$, was nicht der Fall ist;
2) daraus folgt nicht, dass es keine andere Basis gibt, mit der es funktioniert.
Damit $A$ bzgl. der Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist, muss [mm] $v_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^i \lambda_{ij} e_j$ [/mm] sein mit [mm] $\lambda_{ii} \neq [/mm] 0$. (Eventuell ist das auch gerade eine untere Dreiecksmatrix, ich vertu mich bei sowas gerne mal. In dem Fall muesstest du die Indices anpassen :) )
Berechne fuer solche [mm] $v_i$ [/mm] mal $B [mm] v_i$ [/mm] und stelle das bzgl. der [mm] $v_j$ [/mm] dar.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mi 06.02.2013 | | Autor: | ThomasTT |
Okay, also dann haben wir
[mm] $Bv_1 [/mm] = [mm] (0,...,0,\lambda_{11})=a_{11}v_1+...+a_{p1}v_p$ [/mm] mit [mm] $a_{p1}=\frac{\lambda_{11}}{\lambda_{pp}}\ne0$.
[/mm]
[mm] $Bv_2 [/mm] = [mm] (\lambda_{22},0,...,0,\lambda_{21})=a_{12}v_1+...+a_{p2}v_p$ [/mm] mit [mm] $a_{12}\ne0$.
[/mm]
...
[mm] $Bv_i [/mm] = [mm] (\lambda_{i2},...,\lambda_{ii},0,...,0,\lambda_{i1})=a_{1i}v_1+...+a_{pi}v_p$ [/mm] mit [mm] $a_{i-1,i}\ne0$.
[/mm]
...
[mm] $Bv_p [/mm] = [mm] (\lambda_{p2},...,\lambda_{pp},\lambda_{p1})=a_{1p}v_1+...+a_{pp}v_p$ [/mm] mit [mm] $a_{p-1,p}\ne0$.
[/mm]
Daher sieht die Matrix von $B$ bezüglich [mm] $v_1,...,v_p$ [/mm] aus wie:
[mm] \pmat{ & a_{12} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{p-1,p}\\ a_{p1} & & & }
[/mm]
wobei die freien Stellen irgendwelche Werte sind und die a's sind ungleich 0. Das hat offenbar keine Diagonalgestalt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Do 07.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay, also dann haben wir
>
> [mm]Bv_1 = (0,...,0,\lambda_{11})=a_{11}v_1+...+a_{p1}v_p[/mm] mit
> [mm]a_{p1}=\frac{\lambda_{11}}{\lambda_{pp}}\ne0[/mm].
> [mm]Bv_2 = (\lambda_{22},0,...,0,\lambda_{21})=a_{12}v_1+...+a_{p2}v_p[/mm]
> mit [mm]a_{12}\ne0[/mm].
>
> ...
>
> [mm]Bv_i = (\lambda_{i2},...,\lambda_{ii},0,...,0,\lambda_{i1})=a_{1i}v_1+...+a_{pi}v_p[/mm]
> mit [mm]a_{i-1,i}\ne0[/mm].
>
> ...
>
> [mm]Bv_p = (\lambda_{p2},...,\lambda_{pp},\lambda_{p1})=a_{1p}v_1+...+a_{pp}v_p[/mm]
> mit [mm]a_{p-1,p}\ne0[/mm].
>
>
>
> Daher sieht die Matrix von [mm]B[/mm] bezüglich [mm]v_1,...,v_p[/mm] aus
> wie:
> [mm]\pmat{ & a_{12} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{p-1,p}\\ a_{p1} & & & }[/mm]
>
> wobei die freien Stellen irgendwelche Werte sind und die
> a's sind ungleich 0. Das hat offenbar keine
> Diagonalgestalt.
Ja. Allerdings ist es wichtiger, dass es keine Dreiecksmatrix ist 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Do 07.02.2013 | | Autor: | ThomasTT |
Dreiecksmatrix. Das meinte ich doch. ^^
Vielen Dank für die Hilfe.
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