Satz von Liouville < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Do 03.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] f:\IC \to \IC [/mm] holomorph und es gelte f(z)=f(z+i)=f(z+1). Zeigen Sie, dass f konstant ist. |
Schönen guten Abend!
Die Aufgabe ist eigentlich zimlich klar, allerdings habe ich das Problem mit dem mathematischen Aufschreiben des Beweises.
Die Tatsache, dass die Funktion auf der ganzen komplexen Ebene holomorph ist, impliziert, dass f ganz ist. Um den Satz von Liouville an wenden zu können, fehlt noch die Beschränktheit von f, und das liefert mir diese Gleichheit. Sie bedeutet, dass die Bildmenge konstant ist, weil ob man zu dem reellen Teil eine 1 addiert oder zum dem imaginären, sie gleich bleibt.
Aber ich kann es mathematisch nicht aufschreiben.
Es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben würde.
Ich bedanke mich im Voraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Do 03.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei [mm]f:\IC \to \IC[/mm] holomorph und es gelte
> f(z)=f(z+i)=f(z+1). Zeigen Sie, dass f konstant ist.
>
> Die Aufgabe ist eigentlich zimlich klar, allerdings habe
> ich das Problem mit dem mathematischen Aufschreiben des
> Beweises.
> Die Tatsache, dass die Funktion auf der ganzen komplexen
> Ebene holomorph ist, impliziert, dass f ganz ist. Um den
> Satz von Liouville an wenden zu können, fehlt noch die
> Beschränktheit von f, und das liefert mir diese
> Gleichheit. Sie bedeutet, dass die Bildmenge konstant ist,
> weil ob man zu dem reellen Teil eine 1 addiert oder zum dem
> imaginären, sie gleich bleibt.
> Aber ich kann es mathematisch nicht aufschreiben.
> Es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben würde.
Fang doch erstmal hiermit an:
Die Funktion ist stetig, bildet also kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab. Die Menge $A := [mm] \{ x + i y \mid 0 \le x, y \le 1 \}$ [/mm] ist kompakt, ihr Bild also kompakt und somit auch beschraenkt.
Jetzt ueberleg dir, dass es zu jedem $z [mm] \in \IC$ [/mm] ein $w [mm] \in [/mm] A$ gibt mit $f(z) = f(w)$. Damit ist $f(z)$ beschraenkt, fuer jedes $z$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Do 03.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Felix!!
Herzlichen Dank für deine Hilfe, das ist wirklich nett von dir!!
> Fang doch erstmal hiermit an:
>
> Die Funktion ist stetig, bildet also kompakte Mengen auf
> kompakte Mengen ab. Die Menge [mm]A := \{ x + i y \mid 0 \le x, y \le 1 \}[/mm]
> ist kompakt, ihr Bild also kompakt und somit auch
> beschraenkt.
>
> Jetzt ueberleg dir, dass es zu jedem [mm]z \in \IC[/mm] ein [mm]w \in A[/mm]
> gibt mit [mm]f(z) = f(w)[/mm]. Damit ist [mm]f(z)[/mm] beschraenkt, fuer
> jedes [mm]z[/mm].
>
Ich habe mir gedacht, man könnte die Abbildungsmenge auf A einschränken, also [mm] f:\IC\to{A}, [/mm] d.h also jedes [mm] z\in\IC [/mm] wird auf ein [mm] w\in{A} [/mm] abgebildet. Dann bedeutet das ja, dass f beschränkt ist. Ist das richtig oder liege ich total daneben?
Noch mal vielen Dank.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Do 03.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Felix!!
> Herzlichen Dank für deine Hilfe, das ist wirklich nett
> von dir!!
> > Fang doch erstmal hiermit an:
> >
> > Die Funktion ist stetig, bildet also kompakte Mengen auf
> > kompakte Mengen ab. Die Menge [mm]A := \{ x + i y \mid 0 \le x, y \le 1 \}[/mm]
> > ist kompakt, ihr Bild also kompakt und somit auch
> > beschraenkt.
> >
> > Jetzt ueberleg dir, dass es zu jedem [mm]z \in \IC[/mm] ein [mm]w \in A[/mm]
> > gibt mit [mm]f(z) = f(w)[/mm]. Damit ist [mm]f(z)[/mm] beschraenkt, fuer
> > jedes [mm]z[/mm].
> >
> Ich habe mir gedacht, man könnte die Abbildungsmenge auf A
> einschränken, also [mm]f:\IC\to{A},[/mm] d.h also jedes [mm]z\in\IC[/mm]
> wird auf ein [mm]w\in{A}[/mm] abgebildet. Dann bedeutet das ja, dass
> f beschränkt ist. Ist das richtig oder liege ich total
> daneben?
Nein, das geht so nicht, denn du weisst zunächst nicht, wie das Bild von f aussieht. Ich glaube, du verwechselst A und $f(A)$.
Felix Hinweis geht dahin, dass
1. $f(A)$ kompakt ist, da A kompakt ist,
2. [mm] $f(\IC) [/mm] =f(A)$ .
Jetzt setze die Teile zusammen!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Fr 04.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
> Hallo!
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> > Hallo, Felix!!
> > Herzlichen Dank für deine Hilfe, das ist wirklich nett
> > von dir!!
> > > Fang doch erstmal hiermit an:
> > >
> > > Die Funktion ist stetig, bildet also kompakte Mengen auf
> > > kompakte Mengen ab. Die Menge [mm]A := \{ x + i y \mid 0 \le x, y \le 1 \}[/mm]
> > > ist kompakt, ihr Bild also kompakt und somit auch
> > > beschraenkt.
> > >
> > > Jetzt ueberleg dir, dass es zu jedem [mm]z \in \IC[/mm] ein [mm]w \in A[/mm]
> > > gibt mit [mm]f(z) = f(w)[/mm]. Damit ist [mm]f(z)[/mm] beschraenkt, fuer
> > > jedes [mm]z[/mm].
> > >
> > Ich habe mir gedacht, man könnte die Abbildungsmenge auf A
> > einschränken, also [mm]f:\IC\to{A},[/mm] d.h also jedes [mm]z\in\IC[/mm]
> > wird auf ein [mm]w\in{A}[/mm] abgebildet. Dann bedeutet das ja, dass
> > f beschränkt ist. Ist das richtig oder liege ich total
> > daneben?
>
> Nein, das geht so nicht, denn du weisst zunächst nicht,
> wie das Bild von f aussieht. Ich glaube, du verwechselst A
> und [mm]f(A)[/mm].
>
> Felix Hinweis geht dahin, dass
>
> 1. [mm]f(A)[/mm] kompakt ist, da A kompakt ist,
>
> 2. [mm]f(\IC) =f(A)[/mm] .
>
> Jetzt setze die Teile zusammen!
Riesen Dank, Rainer, für deine Teilnahme!!
Der nächste Versuch: ich glaube das sollte jetzt aus der Voraussetzung folgen, dass f(z)=f(z+i) für jedes [mm] z\in\IC [/mm] gilt.
Und dann habe ich noch eine Frage: die Menge A ist aus f(z+i) entstanden und für f(z+1) gilt das gleiche nur muss dann [mm] y\ge{0} [/mm] und [mm] x\le [/mm] 1 sein und der Beweis ist dann analog. Oder?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Hallo, Felix!!
> > > Herzlichen Dank für deine Hilfe, das ist wirklich
> nett
> > > von dir!!
> > > > Fang doch erstmal hiermit an:
> > > >
> > > > Die Funktion ist stetig, bildet also kompakte Mengen auf
> > > > kompakte Mengen ab. Die Menge [mm]A := \{ x + i y \mid 0 \le x, y \le 1 \}[/mm]
> > > > ist kompakt, ihr Bild also kompakt und somit auch
> > > > beschraenkt.
> > > >
> > > > Jetzt ueberleg dir, dass es zu jedem [mm]z \in \IC[/mm] ein [mm]w \in A[/mm]
> > > > gibt mit [mm]f(z) = f(w)[/mm]. Damit ist [mm]f(z)[/mm] beschraenkt, fuer
> > > > jedes [mm]z[/mm].
> > > >
> > > Ich habe mir gedacht, man könnte die Abbildungsmenge auf A
> > > einschränken, also [mm]f:\IC\to{A},[/mm] d.h also jedes [mm]z\in\IC[/mm]
> > > wird auf ein [mm]w\in{A}[/mm] abgebildet. Dann bedeutet das ja, dass
> > > f beschränkt ist. Ist das richtig oder liege ich total
> > > daneben?
> >
> > Nein, das geht so nicht, denn du weisst zunächst nicht,
> > wie das Bild von f aussieht. Ich glaube, du verwechselst A
> > und [mm]f(A)[/mm].
> >
> > Felix Hinweis geht dahin, dass
> >
> > 1. [mm]f(A)[/mm] kompakt ist, da A kompakt ist,
> >
> > 2. [mm]f(\IC) =f(A)[/mm] .
> >
> > Jetzt setze die Teile zusammen!
> Riesen Dank, Rainer, für deine Teilnahme!!
> Der nächste Versuch: ich glaube das sollte jetzt aus der
> Voraussetzung folgen, dass f(z)=f(z+i) für jedes [mm]z\in\IC[/mm]
> gilt.
> Und dann habe ich noch eine Frage: die Menge A ist aus
> f(z+i) entstanden
Nein.
> und für f(z+1) gilt das gleiche nur
> muss dann [mm]y\ge{0}[/mm] und [mm]x\le[/mm] 1 sein und der Beweis ist dann
> analog. Oder?
Der entscheidende Punkt hier ist, dass f eine doppeltperiodische Funktion ist: aus $f(z)=f(z+1)=f(z+i)$ folgt unmittelbar, dass
[mm] f(z+n*1+m*i) = f(z) [/mm] für alle [mm] $m,n\in\IZ$ [/mm] .
Nun kannst du zu jedem [mm] $w\in\IC$ [/mm] ein [mm] $z\in [/mm] A$ finden, sodass $w=z+n*1+m*i$, und daher ist [mm] $f(\IC)=f(A)$.
[/mm]
Da A kompakt ist und f stetig, ist $f(A)$ kompakt und damit [mm] $f(\IC)$. [/mm] qed.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Fr 04.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Rainer!!
Vielen Dank für deine Hilfe.
> Der entscheidende Punkt hier ist, dass f eine
> doppeltperiodische Funktion ist: aus [mm]f(z)=f(z+1)=f(z+i)[/mm]
Ich habe diesen Begrief "doppelperiodische Funktionen" noch nie gehört, zwar habe ich denn gegoogelt, aber im Beweis darf ich das gar nicht anwenden, weil eben wir sie nicht besprochen haben.
Könnte man vielleicht irgendwie anders dran gehen? Ich bin schon nah am Verzweifeln...![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Schöne Grüße
> folgt unmittelbar, dass
>
> [mm]f(z+n*1+m*i) = f(z)[/mm] für alle [mm]m,n\in\IZ[/mm] .
>
> Nun kannst du zu jedem [mm]w\in\IC[/mm] ein [mm]z\in A[/mm] finden, sodass
> [mm]w=z+n*1+m*i[/mm], und daher ist [mm]f(\IC)=f(A)[/mm].
>
> Da A kompakt ist und f stetig, ist [mm]f(A)[/mm] kompakt und damit
> [mm]f(\IC)[/mm]. qed.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Rainer!!
> Vielen Dank für deine Hilfe.
>
> > Der entscheidende Punkt hier ist, dass f eine
> > doppeltperiodische Funktion ist: aus [mm]f(z)=f(z+1)=f(z+i)[/mm]
> Ich habe diesen Begrief "doppelperiodische Funktionen" noch
> nie gehört, zwar habe ich denn gegoogelt, aber im Beweis
> darf ich das gar nicht anwenden, weil eben wir sie nicht
> besprochen haben.
> Könnte man vielleicht irgendwie anders dran gehen? Ich
> bin schon nah am Verzweifeln...
Was genau darfst du denn nicht verwenden?
Ich schreibe es nochmal explizit auf:
Da $f(z)=f(z+1)=f(z+i)$ ist, folgt durch vollständige Induktion, dass
[mm]f(z+n*1+m*i) = f(z)[/mm] für alle [mm]m,n\in\IZ[/mm] .
Sei nun [mm] $w\in \IC$, [/mm] $w= u+iv$ in Real- und Imaginärteil zerlegt.
Nun ist [mm] $0\le [/mm] u-[u]<1 $, [mm] $0\le [/mm] v-[v]<1$. Setze $z=w-[u]-i[v]$. Dann ist [mm] $z\in [/mm] A$ und
[mm] f(w) = f(u+iv) = f(u-[u]+[u]+i(v-[v]) +i[v]) = f(z+[u]+i[v]) [/mm].
Da $[u]$ und $[v]$ ganze Zahlen sind, ist dies $=f(z)$.
Also kannst du zu jedem [mm]w\in\IC[/mm] ein [mm]z\in A[/mm] finden, sodass $f(w)=f(z)$, und daher ist [mm]f(\IC)=f(A)[/mm].
Da A kompakt ist und f stetig, ist [mm]f(A)[/mm] kompakt und damit [mm]f(\IC)[/mm].
Also ist f ganz und geschränkt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Mo 07.06.2010 | | Autor: | lilia25 |
Tausend Dank, Rainer!!
ich habe es verstanden.
Schöne Grüße
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