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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Di 20.01.2009 | | Autor: | ivsam |
| Aufgabe | Für welche Anfangswerte u(0) liefert der Satz von Peano lokal die Existenz einer Lösung?
u'(t) = sin ([mm] \bruch{1}{u(t)} [/mm])
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Also ich weiß, dass man hier im Prinzip die Stetigkeit der rechten Seite zeigen muss.
Aber wie genau komme ich da hin? Muss ich das integrieren?
Das wäre dann doch
u(t) = -cos(1/u(t)) ln(u(t)) + c oder?
Und wie müsste ich dann weitermachen? Oder bin ich ganz auf dem falschen Weg?
Wäre nett, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte!
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Satz von Peano:
Sei D [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] offen, f: D--> [mm] \IR [/mm] stetig und [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] D. Dann gibt es ein Intervall I mit [mm] x_0 [/mm] innerer Punkt von I so, dass das AWP
$u' = f(t,u), [mm] u(x_0) [/mm] = [mm] y_0$
[/mm]
auf I eine Lösung hat.
In Deiner Aufgabe ist $ f(t,u) = [mm] sin(\bruch{1}{u}) [/mm] $
Preisfragen:
1. auf welcher möglichst großen offen Teilmenge D des [mm] \IR^2 [/mm] ist f stetig ?
2. bei Dir ist [mm] x_0 [/mm] =0. Wie kannst Du dann [mm] y_0 [/mm] wählen, damit [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] D ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mi 21.01.2009 | | Autor: | ivsam |
Hallo FRED!
> Preisfragen:
> 1. auf welcher möglichst großen offen Teilmenge D des [mm]\IR^2[/mm]
> ist f stetig ?
> 2. bei Dir ist [mm]x_0[/mm] =0. Wie kannst Du dann [mm]y_0[/mm] wählen,
> damit [mm](x_0,y_0) \in[/mm] D ?
Ich weiß nicht genau, ob das richtig ist, aber ich denke, dass ich das Intervall (0,[mm] \infty [/mm]) wählen kann. Weiß allerdings nicht,wie ich dann [mm]y_0[/mm] wählen kann! Ich komme hier leider nicht weiter, sorry!
Wäre für einen weiteren Tipp sehr dankbar.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist D = { (t,u) [mm] \in \IR^2: [/mm] u [mm] \not=0 [/mm] } und damit ist jedes [mm] y_0 \not=0 [/mm] zulässig.
FRED
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