Satz von Picard- Lindelöf < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem auf dem Rechteck [mm] R:=[\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}]\times[-1,1]:
[/mm]
[mm] \begin{cases} y^{,}=\bruch{y}{x}+\bruch{x}{5} & \mbox{} \mbox{ } \\ y(1)=0 & \mbox{} \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie ein Intervall, auf dem das Anfangswertproblem eindeutig lösbar ist. Wie viele Interationen müssen Sie maximal durchführen, um auf diesem Intervall mit der letzten Interierten unter einer maximalen Fehlerschranke von 0,01 zu bleiben? |
Liebe Matheraum- Community,
bei der folgenden Aufgabe habe ich bereits im Ansatz Probleme. Mir bereitet Schwierigkeiten, dass x im linken Summanden im Nenner auftaucht und auf der rechten Seite im Zähler. Ich kann also das x nicht getrennt von y aufschreiben, um entsprechend den Eindeutigkeitssatz von Picard- Lindelöf anzuwenden.
Der Satz enthält ja unter anderem die folgende Gleichung:
R={ [mm] (x,y)||x-x_{0}|\le a,|y-y_{0}|\le [/mm] b}
Ich weiß jetzt aber nicht, wie ich diese Gleichung mit den mir vorgegeben Daten füttern kann. Wenn ich die hätte, würde ich folgendermaßen fortfahren:
(1) Gemäß M=max{ [mm] |f(x,y)||(x,y)\in\IR [/mm] } würde ich also zunächst M bestimmen.
(2) Fener würde ich nach [mm] \alpha= [/mm] min{ [mm] a,\bruch{b}{M} [/mm] } mein [mm] \alpha [/mm] bestimmen
(3) Nun könnte ich dann gemäß [mm] I=[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha] [/mm] das gesuchte Intervall berechnen.
Die Anfangswertaufgabe besäße dann genau eine Lösung, die mindestens auf I definiert wäre. Diese eindeutig bestimmte Lösung y würde sich dann im weiteren Verlauf durch das Picard- Lindelöfsche Interationsverfahren ergeben.
Die Anwendung des Verfahrens wäre dann die Lösung für die zweite Teilaufgabe. Zunächst möchte ich aber gerne die Erste verstehen.
Also nochmal:
(1) Kann ich zur Bestimmung des geforderten Intervalls so vorgehen?
(2) Wenn ja, wie bestücke ich die oben angegebene Gleichung mit den mir zur Verfügung stehenden Daten richtig?
Für hilfreiche Tipps von euch wäre ich sehr dankbar. Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem auf dem
> Rechteck [mm]R:=[\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}]\times[-1,1]:[/mm]
>
> [mm]\begin{cases} y^{,}=\bruch{y}{x}+\bruch{x}{5} & \mbox{} \mbox{ } \\ y(1)=0 & \mbox{} \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie ein Intervall, auf dem das Anfangswertproblem
> eindeutig lösbar ist. Wie viele Interationen müssen Sie
> maximal durchführen, um auf diesem Intervall mit der
> letzten Interierten unter einer maximalen Fehlerschranke
> von 0,01 zu bleiben?
> Liebe Matheraum- Community,
>
> bei der folgenden Aufgabe habe ich bereits im Ansatz
> Probleme. Mir bereitet Schwierigkeiten, dass x im linken
> Summanden im Nenner auftaucht und auf der rechten Seite im
> Zähler. Ich kann also das x nicht getrennt von y
> aufschreiben, um entsprechend den Eindeutigkeitssatz von
> Picard- Lindelöf anzuwenden.
Für diesen Satz musst du die Variablen nicht trennen, nur eine Lipschitzbedingung angeben.
>
>
> Der Satz enthält ja unter anderem die folgende Gleichung:
>
>
> [mm]R=\{ (x,y)||x-x_{0}|\le a,|y-y_{0}|\le b\}[/mm]
>
>
> Ich weiß jetzt aber nicht, wie ich diese Gleichung mit den
> mir vorgegeben Daten füttern kann.
Das Rechteck steht doch in der Aufgabe: Du hast $F(x,y)= [mm] \bruch{y}{x}+\bruch{x}{5}$, $x_0=1$, $y_0=0$, $|x-x_0|\le [/mm] 1/2$, [mm] $|y-y_0|\le [/mm] 1$.
Jetzt formuliere eine Lipschitzbedingung
[mm] |F(x,y_1)-F(x,y_2)| \le \dots [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 30.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo rainerS,
vielen Dank für deine Antwort.
1.) Wozu benötige ich denn eine Lipschitzbedingung? Gemäß dem Eindeutigkeitssatz von Picard- Lindelöf ist diese doch bereits gegeben, oder nicht? Oder anders: Um diesen Satz ansetzen zu können, muss f doch diese Anforderung erfüllen. Da man in der Aufgabe mit dem Satz arbeiten muss und nicht nach einer Lipschitzbedingung gefragt ist, kann man jene doch voraussetzen.
2.) Wie genau ermittelt man die 2 oberen Schranken [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und 1 der jeweiligen Abstände [mm] |x-x_{0}| [/mm] sowie [mm] |y-y_{0}| [/mm] aus den 4 gegebenen Koordinaten des Rechtecks? Möglicherweise ist dies eine recht einfache Angelegenheit, die ich aber nicht ganz verstehe.
3.) Müsste man zur Bestimmung des Intervalls nicht folgendermaßen vorgehen?
3.1) R={ [mm] (x,y)||x-x_{0}|\le \bruch{1}{2},|y-y_{0}|\le [/mm] 1 } gemäß R={ [mm] (x,y)||x-x_{0}|\le a,|y-y_{0}|\le [/mm] b }
3.2) [mm] M=\bruch{1}{\bruch{1}{2}}+\bruch{\bruch{1}{2}}{\bruch{5}{1}}=2+\bruch{1}{10}=\bruch{21}{10} [/mm] gemäß M=max{ [mm] |f(x,y)||(x,y)\in\IR [/mm] }
3.3) [mm] \alpha=min(\bruch{1}{2},\bruch{1}{\bruch{21}{10}})=\bruch{10}{21} [/mm] gemäß [mm] \alpha=min [/mm] { [mm] a,\bruch{b}{M} [/mm] }
3.4) [mm] I=[1-\bruch{10}{21},1+\bruch{10}{21}]=[\bruch{11}{21},\bruch{31}{21}] [/mm] gemäß [mm] I=[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha].
[/mm]
Dann besitzt die Anfangswertaufgabe genau eine Lösung, die mindestens auf I definiert ist. Diese eindeutig bestimmte Lösung y ergäbe sich dann aus dem Picard- Lindelöfschen Interationsverfahren, oder liege ich damit falsch? Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo rainerS,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
>
> 1.) Wozu benötige ich denn eine Lipschitzbedingung? Gemäß
> dem Eindeutigkeitssatz von Picard- Lindelöf ist diese doch
> bereits gegeben, oder nicht? Oder anders: Um diesen Satz
> ansetzen zu können, muss f doch diese Anforderung erfüllen.
> Da man in der Aufgabe mit dem Satz arbeiten muss und nicht
> nach einer Lipschitzbedingung gefragt ist, kann man jene
> doch voraussetzen.
Ich kenne den Satz von Picard-Lindelöf so, dass eine Lipschitzbedingung als Voraussetzung nötig ist (aber: siehe unten).
> 2.) Wie genau ermittelt man die 2 oberen Schranken
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und 1 der jeweiligen Abstände [mm]|x-x_{0}|[/mm] sowie
> [mm]|y-y_{0}|[/mm] aus den 4 gegebenen Koordinaten des Rechtecks?
> Möglicherweise ist dies eine recht einfache Angelegenheit,
> die ich aber nicht ganz verstehe.
Aus der Anfangsbedingung $y(1)=0$ entnimmst du [mm] $x_0=1$, $y_0=0$.
[/mm]
Nun ist das Rechteck gegeben als $ [mm] R:=[\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}]\times[-1,1]: [/mm] $ oder
[mm] \bruch{1}{2} \le x \le\bruch{3}{2} [/mm], [mm] -1 \le y \le +1 [/mm].
Hier ist es sogar ganz einfach, weil sowohl [mm] $x_0$ [/mm] in der Mitte des Intervalls [mm] $[\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}]$ [/mm] als auch [mm] $y_0$ [/mm] in der Mitte des Intervalls $[-1,1]$ liegt.
Daher: [mm] $\bruch{1}{2} \le [/mm] x [mm] \le\bruch{3}{2} \gdw |x-1|\le \bruch{1}{2}$ [/mm] und $ [mm] |y-0|\le [/mm] 1 $.
>
> 3.) Müsste man zur Bestimmung des Intervalls nicht
> folgendermaßen vorgehen?
>
>
> 3.1) [mm]R=\{ (x,y)\mid|x-x_{0}|\le \bruch{1}{2},|y-y_{0}|\le 1 \} [/mm] gemäß [mm]R=\{ (x,y)\mid|x-x_{0}|\le a,|y-y_{0}|\le b\}[/mm]
>
>
> 3.2)
> [mm]M=\bruch{1}{\bruch{1}{2}}+\bruch{\bruch{1}{2}}{\bruch{5}{1}}=2+\bruch{1}{10}=\bruch{21}{10}[/mm]
> gemäß [mm]M=\max\{ |f(x,y)|\mid(x,y)\in\IR\}[/mm]
>
>
> 3.3)
> [mm]\alpha=min(\bruch{1}{2},\bruch{1}{\bruch{21}{10}})=\bruch{10}{21}[/mm]
> gemäß [mm]\alpha=\min \{ a,\bruch{b}{M}\}[/mm]
>
>
> 3.4)
> [mm]I=[1-\bruch{10}{21},1+\bruch{10}{21}]=[\bruch{11}{21},\bruch{31}{21}][/mm]
> gemäß [mm]I=[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha].[/mm]
>
> Dann besitzt die Anfangswertaufgabe genau eine Lösung, die
> mindestens auf I definiert ist. Diese eindeutig bestimmte
> Lösung y ergäbe sich dann aus dem Picard- Lindelöfschen
> Interationsverfahren, oder liege ich damit falsch? Gruß,
Das ist richtig. Aus diesen Bedingungen kannst du die lokale Lipschitzstetigkeit ableiten, das ergibt sich aus dem Beweis des Satzes.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 30.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo rainerS,
ich habe mir eben überlegt, dass es doch sinnvoll wäre, die Lipschitzstetigkeit bezüglich y zu zeigen, um die Anwendung des besagten Satzes zu legitimieren:
[mm] |f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|
[/mm]
[mm] \gdw|\bruch{y_{1}}{x}+\bruch{x}{5}-\bruch{y_{2}}{x}-\bruch{x}{5}|
[/mm]
[mm] \gdw|\bruch{y_{1}}{x}-\bruch{y_{2}}{x}|
[/mm]
[mm] \gdw|\bruch{y_{1}-y_{2}}{x}|
[/mm]
[mm] \gdw|y_{1}-y_{2}|*|\bruch{1}{x}| \Rightarrow [/mm] L=1, da [mm] \max_{(x,y)\in I_{R}}\bruch{1}{x}=1
[/mm]
wir erhalten also: [mm] |f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\le 1*|y_{1}-y_{2}|=|y_{1}-y_{2}| [/mm] für alle [mm] (x,y_{1}), (x,y_{2}) \in [/mm] I.
Daraufhin würde ich eben meine Intervallsberechnung ansetzen, für die ich bereits in meiner vorherigen Frage einen Lösungsvorschlag gemacht habe. Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 So 30.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Hallo rainerS,
>
> ich habe mir eben überlegt, dass es doch sinnvoll wäre, die
> Lipschitzstetigkeit bezüglich y zu zeigen, um die Anwendung
> des besagten Satzes zu legitimieren:
>
>
> [mm]|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|[/mm]
>
> [mm]\gdw|\bruch{y_{1}}{x}+\bruch{x}{5}-\bruch{y_{2}}{x}-\bruch{x}{5}|[/mm]
>
> [mm]\gdw|\bruch{y_{1}}{x}-\bruch{y_{2}}{x}|[/mm]
>
> [mm]\gdw|\bruch{y_{1}-y_{2}}{x}|[/mm]
Nicht [mm] $\gdw$ [/mm] sondern [mm] $|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})| \red{=} |\bruch{y_{1}-y_{2}}{x}|$
[/mm]
>
> [mm]\gdw|y_{1}-y_{2}|*|\bruch{1}{x}| \Rightarrow[/mm] L=1, da
> [mm]\max_{(x,y)\in I_{R}}\bruch{1}{x}=1[/mm]
Na, fast, denn x kann ja bis zu 1/2 klein werden, also [mm]\max_{(x,y)\in I_{R}} \bruch{1}{x} =2 [/mm].
> wir erhalten also: [mm]|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\le 1*|y_{1}-y_{2}|=|y_{1}-y_{2}|[/mm]
> für alle [mm](x,y_{1}), (x,y_{2}) \in[/mm] I.
OK, bis auf die Tatsache dass der Faktor 2 ist.
> Daraufhin würde ich eben meine Intervallsberechnung
> ansetzen,
Das kannst du tun, aber es ist gar nicht nötig. Denn du hast hier eine globale Lipschitzbedingung nachgewiesen, die auf dem gesamten Rechteck R gilt. Dann sagt die globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf, dass es zu jeder Anfangsbedingung eine auf dem gesamten Intervall für x gültige und eindeutige Lösung gibt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 So 30.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo rainerS,
vielen Dank schon mal für deine schönen Erklärungen. Wenn ich dich also richtig verstanden habe, so wäre für x sowohl das Intervall [mm] I_{1}:[\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}], [/mm] als auch das Intervall [mm] I_{2}:[\bruch{11}{21},\bruch{31}{21}], [/mm] mit [mm] I_{1}\supset I_{2}, [/mm] wählbar.
Es wäre dann also günstiger, sich hinsichtlich der nachfolgenden Berechnungen für das größere Intervall [mm] I_{1} [/mm] zu entscheiden, sehe ich das richtig? Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Mo 01.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Hallo rainerS,
>
> vielen Dank schon mal für deine schönen Erklärungen. Wenn
> ich dich also richtig verstanden habe, so wäre für x sowohl
> das Intervall [mm]I_{1}:[\bruch{1}{2},\bruch{3}{2}],[/mm] als auch
> das Intervall [mm]I_{2}:[\bruch{11}{21},\bruch{31}{21}],[/mm] mit
> [mm]I_{1}\supset I_{2},[/mm] wählbar.
>
> Es wäre dann also günstiger, sich hinsichtlich der
> nachfolgenden Berechnungen für das größere Intervall [mm]I_{1}[/mm]
> zu entscheiden, sehe ich das richtig? Gruß,
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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Okay, ich danke dir! Wie sieht es denn mit meinem Lösungsvorschlag hinsichtlich der Fehlerschranke aus? Wäre er auch richtig? Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 03.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo rainerS,
ich würde gerne noch einmal eine Frage zum zweiten Aufgabenteil, dem Aufgabenteil mit der Fehlerschranke, stellen. Es wird ja gefragt, wie viele Iterationen maximal durchgeführt werden müssen, um auf dem zuvor berechneten Intervall mit der letzten Iterierten unter einer maximalen Fehlerschranke von 0,01 zu bleiben. Dazu hätte ich den folgenden Lösungsvorschlag:
Fehlerabschätzung im Zuge einer fünfmaligen Iteration gemäß
[mm] |y(x)-u_{n}(x)|\le \bruch{(\alpha*L)^{n}}{n!}*e^{\alpha*L}*\max_{x\in I}|u_{1}(x)-u_{0}(x)| [/mm] liefert:
[mm] |y(x)-u_{5}(x)|\le \bruch{(\bruch{10}{21}*2)^{5}}{5!}*e^{\bruch{10}{21}*2}*\max_{x\in I}|u_{1}(x)-u_{0}(x)|=2,115417359*10^{-3}<0,01
[/mm]
mit [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] u_{1}(x)=y_{0}+\integral_{x_{0}}^{x}{f(t,y_{0}) dt}=\bruch{1}{5}*\integral_{1}^{x}{t dt}=\bruch{x^{2}-1}{10}
[/mm]
(1) Ist das Ergebnis so korrekt?
(2) Ist eine Anwendung des Picard- Lindelöfschen Iterationsverfahren über die Berechnung von [mm] u_{1}(x) [/mm] hinaus notwendig? Oder anders gefragt: Muss man hier die Grenzfunktion y(x) ermitteln, gegen welche das Interationsverfahren konvergiert auch wenn dies in der Aufgabenstellung nicht explizit gefordert ist?
(3) Wenn (2) zutrifft: Warum?
Für deine Zeit, die du für mich geopfert hast, bedanke ich mich recht herzlich. Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 02.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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