Satz von Rouche < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Di 17.07.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | | Beweisen Sie ,dass die Gleichung [mm] 3iz=e^z [/mm] in dem Gebiet |z| < 1 genau eine komplexe Lösung besitz. |
Hi,
ich dachte mir ich löse diese Aufgabe mit dem Satz von Rouche, stecke jedoch fest.
Wenn ich f(z)=3iz und [mm] g(z)=e^z [/mm] waehle, dann kann ich ja
|g(z)-f(z)|<|f(z)| bestimmen ....ist das denn der richtige weg ?...komm da nicht so voran
|
|
| |
|
> Beweisen Sie ,dass die Gleichung [mm]3iz=e^z[/mm] in dem Gebiet |z|
> < 1 genau eine komplexe Lösung besitz.
> Hi,
> ich dachte mir ich löse diese Aufgabe mit dem Satz von
> Rouche, stecke jedoch fest.
> Wenn ich f(z)=3iz und [mm]g(z)=e^z[/mm] waehle, dann kann ich ja
>
> |g(z)-f(z)|<|f(z)| bestimmen ....ist das denn der richtige
> weg ?...komm da nicht so voran
Wie wärs mit dem Argumentprinzip: $f(z):= [mm] \mathrm{e}^z-3\mathrm{i}z$ [/mm] hat ja im Einheitskreis keine Polstellen. Dann müsste doch die Anzahl Nullstellen von $f(z)$ im Einheitskreis $n$ gleich
[mm]n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\cdot\oint_{|\zeta|^=1}\frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}\;d\zeta[/mm]
sein. Voraussetzung ist allerdings, dass $f(z)$ auf dem Einheitskreis selbst keine Nullstelle hat. Hmm...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Di 17.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Voraussetzung ist allerdings, dass [mm]f(z)[/mm] auf dem
> Einheitskreis selbst keine Nullstelle hat. Hmm...
Das ist vermutlich kein Problem, weil [mm]|\mathrm{e}^z| = \mathrm{e}^{\Re z} \leq \mathrm{e} < |3iz|[/mm] für [mm]|z|=1[/mm].
Aber dann muss man noch das Integral ausrechnen, das scheint mir auf den ersten Blick nicht so einfach.
Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Di 17.07.2007 | | Autor: | cutter |
Hallo :)
Aber damit hast du doch schon den Satz von Rouche angewandt, oder ?
Einmal sagst du [mm] |g(z)|=|e^z|
[mm] |g(z)|=|e^z|
Hab gelesen, dass fuer 2 holomorphe Fkt-nen auf dem Einheitskreisgebiet nur die Ungleichung [mm] |g(z)|\geq [/mm] |f(z)| erfuellt sein muss. (Also Spezialfall von Rouche) ...Aber bin mir wie gesagt nicht sicher ....ausserdem ist ja hier auch
|z|<1 ...daher kann ich e <|3iz| die Abschaetzung noch nicht ganz nachvollziehen
LG :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Di 17.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Aber damit hast du doch schon den Satz von Rouche
> angewandt, oder ?
Nein, die Definition der Exponentialfunktion und die Tatsache, dass auf dem Einheitskreis [mm]\Re z \leq 1[/mm] ist.
> |z|<1 ...daher kann ich e <|3iz| die Abschaetzung noch
> nicht ganz nachvollziehen
Die Abschätzung gilt auf dem Rand des Einheitskreises. Es ging um die Frage, ob es Nullstellen mit [mm]|z|=1[/mm] gibt.
Die Idee, den Satz von Rouché anzuwenden,ist nicht schlecht, aber dein Ansatz funktioniert nicht. Du willst doch nicht die Nullstellen von [mm]\mathrm{e}^z[/mm] und [mm]3iz[/mm] vergleichen. [mm]\mathrm{e}^z[/mm] hat keine Nullstellen in der komplexen Ebene, und [mm]3iz[/mm] nur eine, nämlich [mm]z=0[/mm]. Überlege dir, was willst du eigentlich zeigen?
Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Di 17.07.2007 | | Autor: | cutter |
Hallo
Also betrachten moechte ich die Fkt
[mm] f(z):=e^z-3iz [/mm] mit |z|<1
Der Satz von Rouche sagt doch , dass die Fkt h und i die gleiche Anzahl an Nullstellen hat , falls
[mm] |h(z)-i(z)|\leq [/mm] |i(z)| gilt. (natuerlich gibt es noch gewisse Voraus.)
Meine Idee war eben h(z) := f(z) zu setzen und i(z):=3iz .....aber das scheint ja nicht zu funktionieren.
Zeigen moechte ich ,dass f(z) genau eine Nullstelle hat.
Aber eine andere Aufteilung (wie ich h(z) und i(z) waehlen soll) faellt mir momentan nicht ein.....
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Di 17.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Also betrachten moechte ich die Fkt
>
> [mm]f(z):=e^z-3iz[/mm] mit |z|<1
h(z), nehme ich an.
> Der Satz von Rouche sagt doch , dass die Fkt h und i die
> gleiche Anzahl an Nullstellen hat , falls
> [mm]|h(z)-i(z)|\leq[/mm] |i(z)| gilt. (natuerlich gibt es noch
> gewisse Voraus.)
>
> Meine Idee war eben h(z) := f(z) zu setzen und i(z):=3iz
> .....aber das scheint ja nicht zu funktionieren.
Dann nimm doch [mm]i(z) = -3iz[/mm].
Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Di 17.07.2007 | | Autor: | cutter |
Hi
aber das habe ich doch die ganze zeit gemacht, nu bin ich total verwirrt ;)...dann folgt
[mm] |e^z-3iz-(-3iz)| \leq [/mm] |3iz|
[mm] |e^z| \leq [/mm] |3iz|
und nun muss ich zeigen ,dass die ungleichung gilt....
[mm] |e^z|=|e^x||e^{iy}|=e^x \geq [/mm] e .... (gilt dies nun fuer |z|<1? )
dann muss ich doch noch zeigen ,dass |3iz| [mm] \geq [/mm] e und dann sollte ich schon fertig sein, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Di 17.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> und nun muss ich zeigen ,dass die ungleichung gilt....
> [mm]|e^z|=|e^x||e^{iy}|=e^x \geq[/mm] e .... (gilt dies nun fuer
> |z|<1? )
Also, erstens ist [mm]\mathrm{e}^x \geq \mathrm{e}[/mm] nur richtig für [mm] x \geq 1 [/mm]. Wie groß ist dein x?
Zweitens verstehe ich nicht, was du damit zeigen willst.
Du hast h(z) und i(z). Der Satz von Rouché sagt, dass in einem Gebiet holomorphe Funktionen h(z) und i(z) im Inneren eines Gebietes gleich viele Nullstellen haben, wenn die Ungleichung auf dem Rand des Gebietes gilt.
Die Ungleichung [mm]|\mathrm{e}^z| \leq |3iz|[/mm] muss also auf dem Rand gelten, damit du den Satz von Rouché anwenden kannst.
Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 17.07.2007 | | Autor: | cutter |
Und wie soll ich dann den Satz anwenden ?
Indem ich |z|=1 betrachte ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Di 17.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Ja, die Ungleichung [mm]|\mathrm{e}^z| \leq |3iz|[/mm] auf dem Rand [mm]|z|=1[/mm] nachweisen.
Rainer
|
|
|
|
