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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 19.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
Ich habe hier in einem Buch folgendes Polynom gegeben:
[mm] p(x)=(x^2-9)*(x^2-4)
[/mm]
Dadrunter stehen dann sofort die Nullstellen:
7, -3, 3, 4, -4
DIe Nullstelle "7" war bereits vorgegeben. Was mich aber verwundert ist, wie man aus [mm] p(x)=(x^2-9)*(x^2-4) [/mm] auf die Nullstellen -3, 3, 4, -4 kommt?!
Ich hätte jetzt gesagt, dass die Nullstellen von p(x) 7, 9, -9, 4, -4 wären?!
Wo ist mein Denkfehler?
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Hallo,
die Nullstellen bekommst du
[mm] (x^2-9)=0
[/mm]
[mm] x_1=-3, x_2=3
[/mm]
[mm] (x^2-4)=0
[/mm]
[mm] x_3=-2, x_4=2
[/mm]
was hast du für ein Buch? In welchem Zusammenhang stehn Polynom und Zahlen? Ich stelle auf teilweise beantwortet, sicherlich gibt es weitere Ideen.
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 So 19.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
> Hallo,
>
> die Nullstellen bekommst du
>
> [mm](x^2-9)=0[/mm]
> [mm]x_1=-3, x_2=3[/mm]
>
> [mm](x^2-4)=0[/mm]
> [mm]x_3=-2, x_4=2[/mm]
Das war auch erst meine Idee, aber im Buch stand eben was anderes...
Hab nun auch alles mal plotten lassen, es handelt sich also anscheinend um einen Druckfehler.
Nochmal zusammengefasst, worum es hier eigentlich Hintergründig ging:
Es sollten die Nullstellen von p(x) = x⁵ - 7x⁴ - 13x³ + 91x² + 36x - 252 berechnet werden. Vorgegeben war eine Nullstelle bei p(7)=0.
Nun wurde das Hornerschema mit x=7 und p(x) angewandt, woraus man dann q(x)= x⁴ - 13x² + 36 erhielt. Dies kann man ja umschreiben mit dem Satz von Vieta zu q(x) = (x² - 9) (x² - 4), wodurch die restlichen Nullstellen einfach zu bestimmen sind.
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Hallo, schön, nun hast Du ja mal das Polynom verraten, um welches es wirklich ging, somit klärt sich auch die Nullstelle 7, die Nullstellen sind also -3, -2, 2, 3, 7, also Druckfehler, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 So 19.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> Ich habe hier in einem Buch folgendes Polynom gegeben:
>
> [mm]p(x)=(x^2-9)*(x^2-4)[/mm]
>
> Dadrunter stehen dann sofort die Nullstellen:
> 7, -3, 3, 4, -4
>
> DIe Nullstelle "7" war bereits vorgegeben. Was mich aber
> verwundert ist, wie man aus [mm]p(x)=(x^2-9)*(x^2-4)[/mm] auf die
> Nullstellen -3, 3, 4, -4 kommt?!
> Ich hätte jetzt gesagt, dass die Nullstellen von p(x) 7,
> 9, -9, 4, -4 wären?!
>
> Wo ist mein Denkfehler?
neben der komischen 7, aber das klärt sich ja in dem anderen Teil des Threads, weiß ich schonmal nicht, wieso da [mm] $-9\,$ [/mm] und [mm] $-4\,$ [/mm] bei Dir stehen.
Die Nullstellenmenge von [mm] $p(x):=(x^2-9)*(x^2-4)$ [/mm] ist aber [mm] $\{-3,\,-2,\,2,3\}\,.$
[/mm]
Denn: Es gilt doch bspw.
[mm] $$x^2-9=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x+3)(x-3)=0\,.$$
[/mm]
Oder, so kann man's auch angehen:
[mm] $$x^2-9=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2=9$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \sqrt{x^2}=\sqrt{9}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] |x|=3$$
[mm] $$\gdw [/mm] (x=3 [mm] \text{ oder }x=-3)\,.$$
[/mm]
Was ich mir vorstellen könnte, ist, dass Du
[mm] $$x^2-9=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2=9$$
[/mm]
gerechnet hast und dann [mm] $z:=x^2$ [/mm] substituiert hattest. Und dann
[mm] $$z=9\,$$
[/mm]
als Lösung angesehen hast. Dann hättest Du die Rücksubstitution vergessen - aber wie Du dann [mm] $z=-9\,$ [/mm] gerechnet hättest, wüßte
ich nicht!
Gruß,
Marcel
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