Satz von Vieta < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zerlegen Sie die folgenden quadratischen Terme in ein Produkt aus Linearfaktoren:
a) [mm] x^2-4x+3
[/mm]
b) [mm] x^2+2x-15
[/mm]
c) [mm] x^2-4x+4
[/mm]
d) [mm] x^2+2x-2
[/mm]
e) [mm] x^2-4x
[/mm]
f) [mm] 5x^2-2x-4
[/mm]
g) [mm] 0,4x^2+1,2x+0,1
[/mm]
h) [mm] 1,27x^2+0,5x-8,74 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich weiß zwar, wie man aus den Lösungen (bspw. x1 und x2) jeweils eine quadratische Gleichung bildet (-p=x1+x2) und (q=x1*x2), aber aus quadratischen Termen ein Produkt aus Linearfaktoren zu bilden...?
Habt ihr Tipps bzw. eine Formel für mich, mit der ich das üben kann?
Viele Grüße!
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> Zerlegen Sie die folgenden quadratischen Terme in ein
> Produkt aus Linearfaktoren:
>
> a) [mm]x^2-4x+3[/mm]
> b) [mm]x^2+2x-15[/mm]
> c) [mm]x^2-4x+4[/mm]
> d) [mm]x^2+2x-2[/mm]
> e) [mm]x^2-4x[/mm]
> f) [mm]5x^2-2x-4[/mm]
> g) [mm]0,4x^2+1,2x+0,1[/mm]
> h) [mm]1,27x^2+0,5x-8,74[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> ich weiß zwar, wie man aus den Lösungen (bspw. x1 und x2)
> jeweils eine quadratische Gleichung bildet (-p=x1+x2) und
> (q=x1*x2), aber aus quadratischen Termen ein Produkt aus
> Linearfaktoren zu bilden...?
>
> Habt ihr Tipps bzw. eine Formel für mich, mit der ich das
> üben kann?
Hallo,
nehmen wir mal [mm] 2x^2-4x-70.
[/mm]
Die Zahl vorm [mm] x^2 [/mm] ausklammern:
[mm] 2x^2-4x-70=2*(x^2-2x-35).
[/mm]
Auf zwei Wegen kannst Du jetzt weitermachen:
1.
normale Nullstellenberechnung von [mm] x^2-2x-35 [/mm] mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung.
Ergebnis [mm] x_1=-5, x_2=7,
[/mm]
Zerlegung in Linearfaktoren
[mm] 2x^2-4x-70=2*(x^2-2x-35)=2*(x-(-5))(x-7)=2*(x+5)(x-7).
[/mm]
2.
Man schaut [mm] x^2-2x-35 [/mm] an, hat den Satz von Vieta im Hinterkopf und überlegt sich zwei Zahlen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mit [mm] x_1+x_2=2 [/mm] und [mm] x_1*x_2=-35.
[/mm]
Ergebnis [mm] x_1=-5, x_2=7,
[/mm]
Zerlegung in Linearfaktoren
[mm] 2x^2-4x-70=2*(x^2-2x-35)=2*(x-(-5))(x-7)=2*(x+5)(x-7).
[/mm]
LG Angela
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| Aufgabe | Man bestimme in den folgenden Gleichungen die Konstante a so, dass die Diskriminante 0 ist:
a) [mm] x^2+2x+a=0
[/mm]
b) [mm] x^2+ax+9=0
[/mm]
c) [mm] x^2-2ax+16=0
[/mm]
d) [mm] ax^2-4x+1=0
[/mm]
e) [mm] 16x^2-8ax+a=0
[/mm]
f) [mm] 3ax^2+2ax-1=0 [/mm] |
Habs kapiert, danke.... hier eine neue Aufgabe!
Die Aufgaben a)-c) (siehe oben) habe ich bereits erledigt.... waren auch richtig.
Das Ganze mithilfe der Formel zur Bestimmung der Diskriminante D
[mm] D=p^2/4-q
[/mm]
Ausgehend von der Normalform einer quadratischen Gleichung:
p und q sind die entsprechenden Koeffizienten.
[mm] x^2+px+q=0
[/mm]
Bei den Aufgaben d)-f) tue ich mich schwer, da hier die Variable a nicht immer NUR bei den Koeffizienten p und q auftaucht... hat jemand Tipps für mich?
Muss ich, bevor ich die Diskriminante bestimme, die gegebene Gleichung bereits auf Normalform bringen?
Wie immer: Ich möchte den Weg verstehen, nicht die Lösung, diese ist zweitrangig.
Vielen Dank!
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Hallo gummibaum,
> Man bestimme in den folgenden Gleichungen die Konstante a
> so, dass die Diskriminante 0 ist:
>
> a) [mm]x^2+2x+a=0[/mm]
> b) [mm]x^2+ax+9=0[/mm]
> c) [mm]x^2-2ax+16=0[/mm]
>
> d) [mm]ax^2-4x+1=0[/mm]
> e) [mm]16x^2-8ax+a=0[/mm]
> f) [mm]3ax^2+2ax-1=0[/mm]
>
>
>
> Habs kapiert, danke.... hier eine neue Aufgabe!
>
> Die Aufgaben a)-c) (siehe oben) habe ich bereits
> erledigt.... waren auch richtig.
>
> Das Ganze mithilfe der Formel zur Bestimmung der
> Diskriminante D
>
> [mm]D=p^2/4-q[/mm]
>
> Ausgehend von der Normalform einer quadratischen
> Gleichung:
> p und q sind die entsprechenden Koeffizienten.
>
> [mm]x^2+px+q=0[/mm]
>
> Bei den Aufgaben d)-f) tue ich mich schwer, da hier die
> Variable a nicht immer NUR bei den Koeffizienten p und q
> auftaucht... hat jemand Tipps für mich?
>
Sollte a ein Teil des Faktors vor dem [mm]x^{2}[/mm] sein,
dann dividiere durch diesen, wobei [mm]a \not=0[/mm].
> Muss ich, bevor ich die Diskriminante bestimme, die
> gegebene Gleichung bereits auf Normalform bringen?
>
> Wie immer: Ich möchte den Weg verstehen, nicht die
> Lösung, diese ist zweitrangig.
>
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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Ok, ich mache das mal an einem Beispiel wie Aufgabe d)
[mm] ax^2-4x+1=0
[/mm]
Durch a teilen (da die Variable vor dem [mm] x^2 [/mm] steht)
neue Gleichung:
[mm] x^2-4a/x+1/a=0
[/mm]
Formel zur Bestimmung der Diskriminante
[mm] D=p^2/4-q
[/mm]
Hier die Werte für die Koeffizienten p und q (aus der neuen und umgeformten Gleichung)
p=4/a
q=1/a
Einsetzen der Werte in die D-Gleichung:
[mm] D=(4/a)^2/4-1/a=0
[/mm]
Umformungen
[mm] 16/a^2*1/4-1/a=0
[/mm]
[mm] 16/4a^2-1/a=0 [/mm] (Kürzen des 1. Terms möglich)
[mm] 4/a^2-1/a=0 [/mm] (Hauptnenner [mm] a^2)
[/mm]
also: [mm] 4-a/a^2=0 [/mm] , [mm] 4-a=a^2 [/mm] , [mm] 4=a^2+a [/mm] , 4=a(a+1)
Was soll ich mit a(a+1)=4 anfangen???
Freue mich über jede Hilfe!
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Hallo gummibaum,
> Ok, ich mache das mal an einem Beispiel wie Aufgabe d)
>
> [mm]ax^2-4x+1=0[/mm]
>
> Durch a teilen (da die Variable vor dem [mm]x^2[/mm] steht)
>
> neue Gleichung:
>
> [mm]x^2-4a/x+1/a=0[/mm]
>
> Formel zur Bestimmung der Diskriminante
>
> [mm]D=p^2/4-q[/mm]
>
> Hier die Werte für die Koeffizienten p und q (aus der
> neuen und umgeformten Gleichung)
>
> p=4/a
> q=1/a
>
> Einsetzen der Werte in die D-Gleichung:
>
> [mm]D=(4/a)^2/4-1/a=0[/mm]
>
> Umformungen
> [mm]16/a^2*1/4-1/a=0[/mm]
> [mm]16/4a^2-1/a=0[/mm] (Kürzen des 1. Terms möglich)
> [mm]4/a^2-1/a=0[/mm] (Hauptnenner [mm]a^2)[/mm]
>
> also: [mm]4-a/a^2=0[/mm] , [mm]4-a=a^2[/mm] , [mm]4=a^2+a[/mm] , 4=a(a+1)
>
Es steht doch hier, nach Multiplikation mit dem Hauptnenner:
[mm]4-a=0[/mm]
Und das solltest Du lösen können.
> Was soll ich mit a(a+1)=4 anfangen???
>
> Freue mich über jede Hilfe!
Gruss
MathePower
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Da ich die Gleichung auf Normalform gebracht und somit die Gleichung durch a dividiert habe, bin ich davon ausgegangen, dass 4/a - also der ganze Bruch den Koeffizienten p darstellt und quadriert werden muss da [mm] p^2/4 [/mm] ist - dem ist anscheinend nicht so oder?
Also quadriere ich lediglich den Zähler und komme auf 16/a*1/4 (Kehrwert 4) - 1/a, da komme ich allerdings auch auf a=3...
16/a*1/4-1/a=0
16/4a-1/a=0
4/a-1/a=0
4-1/a=0
a=3
Wenn ich den Nenner a beim Bruch 1/a (also Koeffizient weglasse) komme ich auf a=2
16/a*1/4-1=0
4a-1=0
4-a/a=0
4-a=a
4=2a
a=2
?????
Also entweder ich mache hier 3x denselben Fehler oder kann nicht richtig lesen?! ;)
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Hallo gummibaum,
> Da ich die Gleichung auf Normalform gebracht und somit die
> Gleichung durch a dividiert habe, bin ich davon
> ausgegangen, dass 4/a - also der ganze Bruch den
> Koeffizienten p darstellt und quadriert werden muss da
> [mm]p^2/4[/mm] ist - dem ist anscheinend nicht so oder?
>
Dem ist aber so.
> Also quadriere ich lediglich den Zähler und komme auf
> 16/a*1/4 (Kehrwert 4) - 1/a, da komme ich allerdings auch
> auf a=3...
>
> 16/a*1/4-1/a=0
> 16/4a-1/a=0
> 4/a-1/a=0
> 4-1/a=0
> a=3
>
> Wenn ich den Nenner a beim Bruch 1/a (also Koeffizient
> weglasse) komme ich auf a=2
>
> 16/a*1/4-1=0
> 4a-1=0
> 4-a/a=0
> 4-a=a
> 4=2a
> a=2
>
>
> ?????
>
> Also entweder ich mache hier 3x denselben Fehler oder kann
> nicht richtig lesen?! ;)
Die Gleichung
[mm]\bruch{4}{a^2}-\bruch{1}{a}=0[/mm]
stimmt noch.
Die Multiplikation mit dem Hauptnenner [mm]a^{2}[/mm] ergibt:
[mm]\bruch{4}{a^2}\blue{*a^{2}}-\bruch{1}{a}\blue{*a^{2}}=0\blue{*a^{2}}[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{4}{a^2}\blue{*a^{2}}-\bruch{1}{a}\blue{*a^{2}}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow 4-a=0[/mm]
Und nicht wie behauptet: [mm]4-a=a^2[/mm],
denn [mm]0*a^{2}=0 \not= a^{2}[/mm], da [mm]a \not=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 So 11.08.2013 | | Autor: | gummibaum |
Vielen Dank!
Jetzt habe ich es auch verstanden ;)
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