Satz von der Potenzmenge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Sa 29.10.2005 | | Autor: | t_irgang |
Hallo,
ich versuche gerade den Beweis (durch Widerspruch) zum Satz der Potenzmenge zu verstehen bleibe aber immer an einer Stelle hängen.
Zuerst wird angenommen dass es eine bijektive Abbildung von X [mm] \to \cal{P}(X) [/mm] gibt. So weit noch klar. Aber als nächstes wird die Menge U:={x [mm] \in [/mm] X | x [mm] \not\in [/mm] f(x)} definiert. Da aber f(x) eine bijektive Abildung ist muss doch gelten U ist leere Menge, in dem Buch das ich habe wird aber der Beweis durch ein Element der Menge U (das es meiner Meinung nach nicht gibt) erbracht dass es keine bijektive Abbildung ist ??????
MFG
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Thomas.
Kannst du näher begründen, warum du glaubst, dass $U$ leer sein muss? Es ist $f$ eine Abbildung von $X$ in [mm] ${\cal P}(X)$, [/mm] also in die Menge der Teilmengen von $X$. Da kann ich doch diejenigen Elemente raussuchen, die in der Teilmenge von $X$ liegen, auf die sie abbilden; das hat meiner Meinung nach auch nichts mehr der In- oder Surjektivität von $f$ zu tun. Z.B. kannst du ja [mm] $x\mapsto \{x\}$ [/mm] definieren, dann ist sogar $U=X$.
Vielleicht erklärst du noch ein wenig genauer, was dir hier nicht klar ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Sa 29.10.2005 | | Autor: | t_irgang |
im Buch steht:
Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Angenommen, es gäbe eine bijektive Abbildung f von X auf P(X).
Dann ist für alle x [mm] \in [/mm] X das Bild f(x) eine Teilmenge von X. ...
Da liegt mein Problem. Aus der Annahme dass es eine bijektive Abbildung gibt folgt doch dass f(X) = P(X) ist, oder anders, dass jedem Element P(X) ein x zugeordnet werden kann, also gibt es unter dieser Annahme keine Elemente von P(X) die [mm] \not\in [/mm] f(X) liegen.
Natürlich ist der Satz von der Potenzmenge richtig, mich irritiert nur der Beweis, besser gesagt diese Stelle in diesem Beweis.
MFG
Thomas
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Hallo Thomas
Ich werde versuchen, Dir die Stelle im Beweis zu erklären.
Wir haben
$f:X->Pot(X)$ bijektiv
Das bedeutet. Jedem Element x von X wird eine Teilmenge Y von X zugeordnet.
Man könnte etwa f(x) = [mm] $\{x\}$ [/mm] haben.
Dann ist immer $x [mm] \in [/mm] Y = f(x)$
Oder: f(x) = $X [mm] \setminus \{x\}$.
[/mm]
Dann ist immer $x [mm] \not\in [/mm] Y = f(x)$
Die Menge [mm] $Z:=\{x \in X : x \not\in f(x) \}$ [/mm] hängt also stark von der Abblidung f ab. Z ist eine Teilmenge von X, also Element von Pot(X).
Es müsste also ein $z [mm] \in [/mm] X$ geben, mit f(z)=Z, da f bijektiv ist. Man hat aber dann
$z [mm] \in [/mm] Z [mm] \Leftrightarrow [/mm] z [mm] \not\in [/mm] f(z) = Z$
Das ist der gewünschte Widerspruch.
Zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge kann es keine Bijektion geben.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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