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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Satzgruppe des Pythagoras
Satzgruppe des Pythagoras < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Satzgruppe des Pythagoras: Korrektur / Verbesserung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 So 03.11.2019
Autor: chris_muc

Aufgabe
Begründe, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit gleichlangen Hypotenusenabschnitten gleichschenklig ist.

Meine Vorgehensweise wäre folgende:

Nach Voraussetzung handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Folglich liegen die Eckpunkte des Dreiecks auf dem Thaleskreis mit Radius r. Die beiden  Hypotenusenabschnitte (nach Vor. gleichlang) und die Höhe des Dreiecks entsprechen dem Radius r.  Beide Teildreiecke sind nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent und daraus folgt, dass das rechtwinklige Dreieck gleichschenklig ist.

Ist die Argumentation schlüssig? Oder geht es einfacher?

Lieben Dank im Voraus!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Satzgruppe des Pythagoras: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 So 03.11.2019
Autor: Marc

Hallo chris_muc

[willkommenmr]

> Begründe, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit gleichlangen
> Hypotenusenabschnitten gleichschenklig ist.
>  Meine Vorgehensweise wäre folgende:
>  
> Nach Voraussetzung handelt es sich um ein rechtwinkliges
> Dreieck. Folglich liegen die Eckpunkte des Dreiecks auf dem
> Thaleskreis mit Radius r. Die beiden  Hypotenusenabschnitte
> (nach Vor. gleichlang) und die Höhe des Dreiecks
> entsprechen dem Radius r.  
> Beide Teildreiecke sind nach dem
> Kongruenzsatz SWS kongruent und daraus folgt, dass das
> rechtwinklige Dreieck gleichschenklig ist.
>
> Ist die Argumentation schlüssig? Oder geht es einfacher?

Es geht einfacher in dem Sinne, dass deine Erkenntnis, dass AM, BM, CM (M ist der Höhenfußpunkt) gleichlang sind, nicht nötig ist. Nach SWS reicht ja
1. [mm] $|\overline{AM}| [/mm] = [mm] |\overline{BM}| [/mm] (gilt nach Vor.)
2. [mm] $\angle [/mm] CMA = [mm] \angle [/mm] BMC = 90°$ (das sind die beiden Winkel am Höhenfusspunkt) (da M Höhenfußpunkt)
3. [mm] $\overline{MC}$ [/mm] ist gemeinsame Seite

D.h. man kommt bei der Begründung ohne den Thaleskreis aus (die Information, dass das Dreieck rechtwinklig ist und gleich lange Hypotenusenaschnitte hat, wird nur dazu verwendet,  dass der Höhenfusspunkt dann in der Mitte der Strecke AB liegt).

Aber trotzdem war deine Argumentation natürlich vollkommen korrekt.

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Satzgruppe des Pythagoras: Ähnliches Aufgabenformat
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 So 03.11.2019
Autor: chris_muc

Aufgabe
Ein Architekt behauptet:„Ich plane eine Haus mit einem First, der ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit der Schenkellänge 5,7m und einer 8m langen Basis ist.“ Überprüfe die Behauptung!

Lieben Dank für deine Hinweise.

Die Architekt-Aufgabe lässt sich einfach mit dem SdP lösen.

Inwiefern ist sie auch über den Kathetensatz lösbar? Hier müsste lediglich argumentiert werden, dass die beiden Hypotenusenabschnitte gleichlang sind (jeweils 4m). Ist das legitim aus der Rechtwinklig-gleichschenkligkeit ohne Nachweis die gleichlangen Hypotenusenabschnitte zu folgern?

Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Bezug
                        
Bezug
Satzgruppe des Pythagoras: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 So 03.11.2019
Autor: Marc

Hallo chris_muc,

> Ein Architekt behauptet:„Ich plane eine Haus mit einem
> First, der ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit
> der Schenkellänge 5,7m und einer 8m langen Basis ist.“
> Überprüfe die Behauptung!
>  Lieben Dank für deine Hinweise.
>  
> Die Architekt-Aufgabe lässt sich einfach mit dem SdP
> lösen.
>
> Inwiefern ist sie auch über den Kathetensatz lösbar? Hier
> müsste lediglich argumentiert werden, dass die beiden
> Hypotenusenabschnitte gleichlang sind (jeweils 4m). Ist das
> legitim aus der Rechtwinklig-gleichschenkligkeit ohne
> Nachweis die gleichlangen Hypotenusenabschnitte zu
> folgern?

Wenn man diese Frage stellt, ist die Antwort eigentlich immer: Nein. :-)

D.h. es muss noch begründet werden, warum die Hypotenusenabschnitte gleich lang sind (sollte mit SsW gehen).

Viele Grüße
Marc

Bezug
                                
Bezug
Satzgruppe des Pythagoras: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 So 03.11.2019
Autor: chris_muc

Genau SsW oder hier in dem Fall über den Satz des Thales. Damit zeigt man eben über den Radius, dass die Hypotenusenabschnitte gleichlang sind. Richtig?


Bezug
                                        
Bezug
Satzgruppe des Pythagoras: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 So 03.11.2019
Autor: Marc


> Genau SsW oder hier in dem Fall über den Satz des Thales.
> Damit zeigt man eben über den Radius, dass die
> Hypotenusenabschnitte gleichlang sind. Richtig?

Ja. Strenggenommen allerdings über die Umkehrung des Satzes von Thales (Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann liegt C auf dem Thaleskreis).

Bezug
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