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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mi 15.12.2010 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Je 10 Messungen der Winkel [mm] \alpha, \beta, \gamma [/mm] eines Dreiecks ergeben folgende Mittelwerte: [mm] \bar \alpha [/mm] = 61,3°, [mm] \bar \beta [/mm] = 44,6°, [mm] \bar \gamma [/mm] = 73,4°.
Die Winkelsumme ist aufgrund der Messfehler nicht 180°. Man bestimme mit Hilfe der kleinsten Quadrate Schätzungen [mm] \hat \alpha, \hat \beta, \hat \gamma [/mm] mit Winkelsumme 180°. |
Hallo zusammen,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Zunächst soll ja folgendes minimiert werden:
[mm] f(\alpha,\beta,\gamma)=\summe_{i=1}^{10} [(\alpha_i-\alpha)^2+(\beta_i-\beta)^2+(\gamma_i-\gamma)^2]
[/mm]
Die Nebenbedingung ist ja [mm] \varphi(\alpha,\beta,\gamma)=\alpha+\beta+\gamma-180°=0
[/mm]
Jetzt muss ich also die Nullstellen der partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion [mm] f(\alpha,\beta,\gamma)+\lambda*\varphi(\alpha,\beta,\gamma) [/mm] nach [mm] \alpha,\beta,\gamma [/mm] und [mm] \lambda [/mm] ableiten.
Hier habe ich Probleme den Ausdruck abzuleiten.
Ist dann einfach
[mm] \bruch{\partial}{\partial \alpha}f(\alpha,\beta,\gamma)+\lambda*\varphi= -2*\summe_{i=1}^{10} (\alpha_i-\alpha)+\lambda [/mm] ?
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße
LuisA44
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 16.12.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hey Luis,
Danke für deine Antwort.
also wenn ich dann zunächst alle Ableitungen bilde habe ich also:
[mm] \bruch{\partial}{\partial\alpha}f(\alpha,\beta,\gamma)+\lambda\varphi (\alpha,\beta,\gamma)=-2*\summe_{i=1}^{10} (\alpha_i-\alpha)+\lambda
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial\beta}f(\alpha,\beta,\gamma)+\lambda\varphi (\alpha,\beta,\gamma)=-2*\summe_{i=1}^{10} (\beta_i-\beta)+\lambda
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial\gamma}f(\alpha,\beta,\gamma)+\lambda\varphi (\alpha,\beta,\gamma)=-2*\summe_{i=1}^{10} (\gamma_i-\gamma)+\lambda
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial\lambda}f(\alpha,\beta,\gamma)+\lambda\varphi (\lalpha,\beta,\gamma)=\alpha+\beta+\gamma-180
[/mm]
hmmm...irgendwie komme ich leider immer noch nicht weiter
ich kann die partiellen Ableitungen auch noch umschreiben in:
[mm] -2\summe_{i=1}^{10}\alpha_i+20\alpha+\lambda=0
[/mm]
[mm] -2\summe_{i=1}^{10}\beta_i+20\beta+\lambda=0
[/mm]
[mm] -2\summe_{i=1}^{10}\gamma_i+20\gamma+\lambda=0
[/mm]
[mm] \alpha+\beta+\gamma-180=0
[/mm]
Ich komme hier einfach nicht weiter. Ich finde keine Anfang dieses Gleichungssystem zu lösen. Irgendwie stören mich diese Summen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
Danke schonmal für deine Hilfe.
Lieben Gruß
LuisA44 (wer weiß?![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]") )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 16.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> hmmm...irgendwie komme ich leider immer noch nicht weiter
> ich kann die partiellen Ableitungen auch noch umschreiben
> in:
> [mm]-2\summe_{i=1}^{10}\alpha_i+20\alpha+\lambda=0[/mm]
> [mm]-2\summe_{i=1}^{10}\beta_i+20\beta+\lambda=0[/mm]
> [mm]-2\summe_{i=1}^{10}\gamma_i+20\gamma+\lambda=0[/mm]
> [mm]\alpha+\beta+\gamma-180=0[/mm]
>
> Ich komme hier einfach nicht weiter. Ich finde keine Anfang
> dieses Gleichungssystem zu lösen. Irgendwie stören mich
> diese Summen .
Das sieht doch schon sehr vielversprechend aus. Ich ergaenze:
[mm]-2\summe_{i=1}^{10}\alpha_i+20\alpha+\lambda=0\iff -20\hat\alpha+20\alpha+\lambda=0[/mm]
[mm]-2\summe_{i=1}^{10}\beta_i+20\beta+\lambda=0\iff -20\hat\beta+20\beta+\lambda=0[/mm]
[mm]-2\summe_{i=1}^{10}\gamma_i+20\gamma+\lambda=0\iff-20\hat\gamma+20\gamma+\lambda=0[/mm]
[mm]\alpha+\beta+\gamma-180=0[/mm]
Vier Gleichungen mit vier Unbekannten ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 16.12.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hi Luis,
danke für deine schnelle Antwort, aber irgendwie steh ich aufm Schlauch und bin verwirrt. (Lösen eines Gleichungssystems liegt wohl doch etwas zu lang zurück^^)
hmm ein Gleichungssystem muss doch in jeder Zeile jeweils die unbekannten haben. Und hier fehlen mir ja schon in der ersten Zeile [mm] das\beta [/mm] und [mm] \gamma? [/mm] Oder bin ich jetzt bedeppert...
>
> Das sieht doch schon sehr vielversprechend aus. Ich
> ergaenze:
>
>
> [mm]-2\summe_{i=1}^{10}\alpha_i+20\alpha+\lambda=0\iff -20\hat\alpha+20\alpha+\lambda=0[/mm]
>
> [mm]-2\summe_{i=1}^{10}\beta_i+20\beta+\lambda=0\iff -20\hat\beta+20\beta+\lambda=0[/mm]
>
> [mm]-2\summe_{i=1}^{10}\gamma_i+20\gamma+\lambda=0\iff-20\hat\gamma+20\gamma+\lambda=0[/mm]
> [mm]\alpha+\beta+\gamma-180=0[/mm]
>
> Vier Gleichungen mit vier Unbekannten ...
>
> vg Luis
>
LuisA44
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Do 16.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hi Luis,
> danke für deine schnelle Antwort, aber irgendwie steh ich
> aufm Schlauch und bin verwirrt. (Lösen eines
> Gleichungssystems liegt wohl doch etwas zu lang zurück^^)
Stell die Gleichungen doch mal weiter um: [mm] $\lambda/20=\hat\alpha-\alpha$, $\lambda/20=\hat\beta-\beta$, $\lambda/20=\hat\gamma-\gamma$. [/mm] Addiere nun die Gleichungen, und alles wird gut.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 16.12.2010 | | Autor: | LuisA44 |
Hi Luis,
>
> Stell die Gleichungen doch mal weiter um:
> [mm]\lambda/20=\hat\alpha-\alpha[/mm], [mm]\lambda/20=\hat\beta-\beta[/mm],
> [mm]\lambda/20=\hat\gamma-\gamma[/mm]. Addiere nun die Gleichungen,
> und alles wird gut.
Ah ok. Dann steht da am Schluss:
[mm] 20\bruch{((\hat \alpha-\alpha)+(\hat \beta-\beta)+(\hat \gamma-\gamma))}{3}=\lambda
[/mm]
hmmm ich hoffe ich fabrizier jetzt keinen Unfug aber ist nicht [mm] (\hat \alpha-\alpha)+(\hat \beta-\beta)+(\hat \gamma-\gamma)=0 [/mm] ?
So richtig verstehe ich nicht was [mm] \hat \alpha, \hat \beta [/mm] und [mm] \hat \gamma. [/mm] Gut es sind die sogenannten Regressionskoeffizienten. Schätzen die ab wann die Quadrate am kleinsten sind?
Bin dir echt dankbar für deine Hilfe ;)
Lieben Gruß
LuisA44
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 16.12.2010 | | Autor: | luis52 |
*Ich* habe Mist gebaut. Es muss heissen:
$ [mm] -2\summe_{i=1}^{10}\alpha_i+20\alpha+\lambda=0\iff -20\bar\alpha+20\alpha+\lambda=0 [/mm] $
$ [mm] -2\summe_{i=1}^{10}\beta_i+20\beta+\lambda=0\iff -20\bar\beta+20\beta+\lambda=0 [/mm] $
[mm] $-2\summe_{i=1}^{10}\gamma_i+20\gamma+\lambda=0\iff-20 \bar\gamma+20\gamma+\lambda=0 [/mm] $
$ [mm] \alpha+\beta+\gamma-180=0 [/mm] $
Addition der drei Gleichungen $ [mm] \lambda/20=\bar\alpha-\alpha [/mm] $, [mm] $\lambda/20=\bar\beta-\beta [/mm] $, $ [mm] \lambda/20=\bar\gamma-\gamma [/mm] $ liefert [mm] $\lambda/20=\bar\alpha+\bar\beta+\bar\gamma-180$. [/mm] Bestimme nun [mm] $\lambda$ [/mm] und errechne danach [mm] $\hat\alpha=\bar\alpha-\lambda/20$ [/mm] usw.
Sorry Konfusion angerichtet zu haben.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Sa 18.12.2010 | | Autor: | brittag |
Muss ich um lamba auszurechnen nur die gegebenen Werte einsetzen? Ich komme letztendlich nicht mehr auf 180°...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Sa 18.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin brittag
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Muss ich um lamba auszurechnen nur die gegebenen Werte
> einsetzen? Ich komme letztendlich nicht mehr auf 180°...
Sondern auf ... ?
*Ich* erhalte [mm] $\hat\alpha=58.4667, \hat\beta=75.1667,\hat\gamma=46.3667$ [/mm] (Rundungsfehler!). [mm] $\lambda$ [/mm] ist uninteressant, da eine Hilfsgroesse.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Sa 18.12.2010 | | Autor: | brittag |
Danke für die Antwort! Es war gestern einfach zu spät...Ich konnte einfach nicht mehr rechnen...Komme auf das gleiche Ergebnis und kann Deinem Ergebnis daher nur zustimmen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:19 So 19.12.2010 | | Autor: | Steffen |
Hallo Luis,
Ich habe auch einen Frage zu dieser Aufgabe.
Ich kann soweit alles gut nachvollziehen, jedoch steh ich grad auf dem Schlauch.
Wenn man wie du sagst die Gleichungen [mm] \lambda/20=\bar\alpha-\alpha, \lambda/20=\bar\beta-\beta, \lambda/20=\bar\gamma-\gamma [/mm] aufaddiert erhalte ich [mm] 3\lambda/20=\bar\alpha+\bar\beta+\bar\gamma-180.
[/mm]
Wenn ich [mm] \bar\alpha,\bar\beta,\bar\gamma [/mm] einsetze erhalte ich
[mm] 3\lambda/20=\bar\alpha+\bar\beta+\bar\gamma-180=-0,7
[/mm]
also [mm] \lambda/20=-0,7/3.
[/mm]
Das ergibt dann [mm] \hat\alpha=\bar\alpha-\lambda/20=61,3+0,7/3.
[/mm]
Und das ist definitiv was anderes als das was du rausbekommen hast.
Ich glaube ich mache einfach einen sehr dummen Fehler, weiß aber nicht wo er liegt.
Vg, Steffen
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Hallo Steffen,
> Hallo Luis,
>
> Ich habe auch einen Frage zu dieser Aufgabe.
>
> Ich kann soweit alles gut nachvollziehen, jedoch steh ich
> grad auf dem Schlauch.
> Wenn man wie du sagst die Gleichungen
> [mm]\lambda/20=\bar\alpha-\alpha, \lambda/20=\bar\beta-\beta, \lambda/20=\bar\gamma-\gamma[/mm]
> aufaddiert erhalte ich
> [mm]3\lambda/20=\bar\alpha+\bar\beta+\bar\gamma-180.[/mm]
>
> Wenn ich [mm]\bar\alpha,\bar\beta,\bar\gamma[/mm] einsetze erhalte
> ich
> [mm]3\lambda/20=\bar\alpha+\bar\beta+\bar\gamma-180=-0,7[/mm]
> also [mm]\lambda/20=-0,7/3.[/mm]
>
> Das ergibt dann
> [mm]\hat\alpha=\bar\alpha-\lambda/20=61,3+0,7/3.[/mm]
> Und das ist definitiv was anderes als das was du
> rausbekommen hast.
Ich habe das selbe Ergebnis wie Du heraus,
demnach müssen wir beide einen sehr dummen Fehler machen.
Dabei sind die aufgestellten Gleichungen korrekt,
daher nehme ich dann, daß hier mit anderen Werten
für [mm]\overline{\alpha}, \ \overline{\beta}, \ \overline{\gamma}[/mm] gerechnet wurde.
>
> Ich glaube ich mache einfach einen sehr dummen Fehler,
> weiß aber nicht wo er liegt.
>
> Vg, Steffen
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:57 So 19.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Mathepower, moin Steffen,
ihr habt recht. *Rechnen* wollte ich eigentlich nicht ... 
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 19.12.2010 | | Autor: | Steffen |
Hallo Luis,
Aber trotzdem macht unser Ergebnis eigentlich keinen Sinn oder? Mann zieht ja um [mm] \hat\alpha, \hat\beta [/mm] und [mm] \hat\gamma [/mm] zu erhalten je [mm] \lambda/20=-0,7°/3 [/mm] von [mm] \bar\alpha, \bar\beta [/mm] und [mm] \bar\gamma [/mm] ab.
Damit sind die Schätzungen für die Winkel noch kleiner als vorher und die Winkelsumme ist noch weniger 180°. Das ist doch nicht so ein Ergebnis, wie wir haben wollten oder?
VG, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 So 19.12.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
>
> Aber trotzdem macht unser Ergebnis eigentlich keinen Sinn
> oder? Mann zieht ja um [mm]\hat\alpha, \hat\beta[/mm] und [mm]\hat\gamma[/mm]
> zu erhalten je [mm]\lambda/20=-0,7°/3[/mm] von [mm]\bar\alpha, \bar\beta[/mm]
> und [mm]\bar\gamma[/mm] ab.
>
> Damit sind die Schätzungen für die Winkel noch kleiner
> als vorher und die Winkelsumme ist noch weniger 180°. Das
> ist doch nicht so ein Ergebnis, wie wir haben wollten
> oder?
Habs noch einmal durchgerechnet. Ich erhalte jetzt [mm] $\hat\alpha=61.5333,\hat\beta=44.8333,\hat\gamma=73.6333$ [/mm] (ohne Gewaehr).
Mathepower? brittag?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 So 19.12.2010 | | Autor: | brittag |
Hi,
ich habe noch mal nachgerechnet und hatte den Faktor 3 nach Auflösung des Gleichungssystems vergessen.
Komme jetzt auf die von Luis genannten Ergebnisse!Und die geben nun mal etwa 180°
Wir habens geschafft
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:03 So 19.12.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo luis52,
> > Hallo Luis,
> >
> > Aber trotzdem macht unser Ergebnis eigentlich keinen Sinn
> > oder? Mann zieht ja um [mm]\hat\alpha, \hat\beta[/mm] und [mm]\hat\gamma[/mm]
> > zu erhalten je [mm]\lambda/20=-0,7°/3[/mm] von [mm]\bar\alpha, \bar\beta[/mm]
> > und [mm]\bar\gamma[/mm] ab.
> >
> > Damit sind die Schätzungen für die Winkel noch kleiner
> > als vorher und die Winkelsumme ist noch weniger 180°. Das
> > ist doch nicht so ein Ergebnis, wie wir haben wollten
> > oder?
>
>
> Habs noch einmal durchgerechnet. Ich erhalte jetzt
> [mm]\hat\alpha=61.5333,\hat\beta=44.8333,\hat\gamma=73.6333[/mm]
> (ohne Gewaehr).
Diese Ergebnisse stimmen mit meinen überein.
>
> Mathepower? brittag?
>
> vg Luis
>
Gruss
MathePower
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
