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Forum "mathematische Statistik" - Schätzer Erwartungswert
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Schätzer Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Fr 24.08.2018
Autor: Jellal

Guten Abend Leute,

ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch.

Sei X eine Zufallesvariable mit bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X).
f sei irgendeine Funktion auf X.
Ich suche den Erwartungswert E(f(X)).

Ich weiß nun, dass [mm] \mu_{N}:=\bruch{1}{N} \summe_{i=1}^{N} f(x_{i}) [/mm] mit [mm] x_{i} [/mm] als Realisierungen von X ein erwartungstreuer und konsistenter Schätzer ist (für den Erwartungswert).

Ist der folgende Schätzer äquivalent?
[mm] \lambda_{N}:=\summe_{i=1}^{N} f(x_{i})*P(x_{i}) [/mm] ?


Wie ist es, wenn ich z.B. in einer Monte Carlo Simulation [mm] f(x_{i}) [/mm] rein zufällig aus den möglichen Realisierungen von f(X) auswähle und diese Realisierungen in [mm] \lambda_{N} [/mm] einsetze?


Beste Grüße
Jellal



        
Bezug
Schätzer Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Fr 24.08.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg:

> f sei irgendeine Funktion auf X.

Das glaube ich nicht… f sollte mindestens meßbar sein.

> Ist der folgende Schätzer äquivalent?
>  [mm]\lambda_{N}:=\summe_{i=1}^{N} f(x_{i})*P(x_{i})[/mm] ?

Nein.
Der Ausdruck [mm] $P(x_i)$ [/mm] ist ja erst mal problematisch. Du schreibst:

> Sei X eine Zufallesvariable mit bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X).

Doch was soll dann [mm] $P(x_i)$ [/mm] sein? Ich vermute $P(X = [mm] x_i)$. [/mm]

1.) Nehmen wir mal an X habe eine stetige Verteilung, dann wäre folglich [mm] $P(x_i) [/mm]  = 0$ für jede Realisierung von X.
Dann wäre folglich  [mm]\lambda_{N} \equiv 0[/mm]

2.) Im Allgemeinen muss  [mm] $\summe_{i=1}^{N} f(x_{i})\cdot{}P(x_{i}) [/mm] $ gar nicht konvergieren für $N [mm] \to \infty$. [/mm] Das ist also ein sehr schlechter Schätzer.

Ist bspw. $f [mm] \ge [/mm] 0$ und X diskret, so gilt  [mm] $\summe_{i=1}^{N} f(x_{i})\cdot{}P(x_{i}) \to \infty$ [/mm] fast sicher.

Oder ist $f(X)$ einfach gleichverteilt auf [mm] $\{-1,1\}$ [/mm] so ist offensichtlich [mm] $\summe_{i=1}^{N} f(x_{i})\cdot{}P(x_{i}) [/mm]  = [mm] \frac{1}{2} \summe_{i=1}^{N} f(x_{i})$ [/mm] und [mm] $f(x_i)$ [/mm] ist mal 1 oder -1 und die Summe konvergiert nicht.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Schätzer Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Sa 25.08.2018
Autor: Jellal

Hallo Gono,

danke für die Antwort.
Meine Frage kommt vom Durchgehen eines der ersten Paper zur Monte Carlo Simulation.
Schon auf der ersten Seite wird kurz übers random sampling gesprochen ([]Paper).

Man betrachte die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu einer Konfiguration von N Teilchen, wobei eine Konfiguration gegeben ist durch alle 2N Orts- und alle 2N- Impulskoordinaten (zusammengefasst hier mal als Vektor x):
[mm] f(x)=\bruch{e^{-\bruch {E}{KT}}}{\integral_{a}^{b}{e^{-\bruch {E}{KT}} dx}} [/mm]

Das Integral geht über den ganzen Phasenraum, also alle möglichen x, E=E(x) und [mm] dx=dq_{1,x}dq_{1,y}...dq_{N,y}dp_{1,x}...dp_{N,y} [/mm] mit q als Orten und p als Impulsen.

Dann wird der Erwrtungswert einer von x abhängigen Größe berechnet als:

[mm] =\bruch{\integral_{a}^{b}{F(x) e^{-\bruch {E(x)}{KT}} dx}}{\integral_{a}^{b}{e^{-\bruch {E(x)}{KT}} dx}} [/mm]

Nun wird gesagt, Zitat:
"The Monte Carlo method for many-dimensional integrals consists simply of integrating over a random
sampling of points instead of over a regular array of
points.
Thus the most naive method of carrying out the
integration would be to put each of the N particles at a
random position in the square (this defines a random
point in the 2N-dimensional configuration space), then
calculate the energy of the system [namely E(x)...] ,
and give this configuration a weight
[mm] e^{-\bruch{E}{KT}}. [/mm] "

Bedeutet das nicht, dass die im Grunde genommen versuchen, den von mir oben angesprochenen Schätzer [mm] \lambda_n [/mm] zu nehmen? Oder fehlt bei mir noch eine Art Normierung und die haben sich nicht korrekt ausgedrückt und nehmen auch noch das Nennerintegral in die Gewichte mit?

Gruß
Jellal


Bezug
                        
Bezug
Schätzer Erwartungswert: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:59 So 26.08.2018
Autor: Jellal

Ich glaube, ich habe die Antwort gefunden:

Man kann ein solches Integral künstlich hinschreiben als Erwartungswert über eine Gleichverteilung.
Angenommen, die Freiheitsgrade gehen alle von 0 bis L:

Dann gilt nach obiger Gleichung:
[mm] *\integral_{0}^{L}{e^{-\bruch {E(x)}{KT}} dx}=\integral_{0}^{L}{F(x) e^{-\bruch {E(x)}{KT}} dx} [/mm]

[mm] =L^{2N} \integral_{0}^{L}{F(x) e^{-\bruch {E(x)}{KT}} *\bruch{1}{L^{2N}}dx}=L^{2N} [/mm] <F(x) [mm] e^{-\bruch {E(x)}{KT}}>_{G} [/mm]

wobei <.>_{G} der Erwartungswert bzgl. der Gleichverteilung ist.

Jetzt ergibt der Satz Sinn, zufällige Realisierungen von F zu nehmen, sie mit [mm] e^{-\bruch {E(x)}{KT}} [/mm] zu gewichten, und daraus das arithmetische Mittel zu bilden. Dann hätte man wieder einen e-treuen Schätzer, zwar für einen anderen Erwartungswert, der sich aber nur durch Konstanten vom gesuchten Wert unterscheidet.

Wie seht ihr das?

Bezug
                                
Bezug
Schätzer Erwartungswert: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Di 28.08.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Schätzer Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 So 26.08.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dröseln wir das hier erst mal ein bisschen auf, bevor wir deine andere Frage bearbeiten:

> Man betrachte die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu einer
> Konfiguration von N Teilchen, wobei eine Konfiguration
> gegeben ist durch alle 2N Orts- und alle 2N-
> Impulskoordinaten (zusammengefasst hier mal als Vektor x):
> [mm]f(x)=\bruch{e^{-\bruch {E}{KT}}}{\integral_{a}^{b}{e^{-\bruch {E}{KT}} dx}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Ja, dann ist f also mathematisch gesehen einfach eine Wahrscheinlichkeitsdichte und der Faktor $\frac{1}{\integral_{a}^{b}{e^{-\bruch {E}{KT}} dx}$ ist die Normierung.

> Das Integral geht über den ganzen Phasenraum, also alle
> möglichen x, E=E(x) und
> [mm]dx=dq_{1,x}dq_{1,y}...dq_{N,y}dp_{1,x}...dp_{N,y}[/mm] mit q als
> Orten und p als Impulsen.
>  
> Dann wird der Erwrtungswert einer von x abhängigen Größe
> berechnet als:
>  
> [mm]=\bruch{\integral_{a}^{b}{F(x) e^{-\bruch {E(x)}{KT}} dx}}{\integral_{a}^{b}{e^{-\bruch {E(x)}{KT}} dx}}[/mm]

Ja. Ist F eine meßbare Funktion und X eine Zufallsvariable mit Dichtefunktion $f$, so ist der Erwartungswert definiert als:

$<F> = [mm] \int_a^b [/mm] F(x) f(x) dx$

>  Oder fehlt bei mir noch eine Art Normierung und die
> haben sich nicht korrekt ausgedrückt und nehmen auch noch
> das Nennerintegral in die Gewichte mit?

Was mich bei deinem Ansatz interessiert: Ist deine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ in deinem Schätzer die reale (bekannte?) Verteilung, oder meinst du eher sowas in der Art:

Du samplest N Teilchen… zu diesen $N$ Teilchen kannst du eine Verteilung [mm] $P_N$ [/mm] schätzen und aus dieser geschätzen Verteilung berechnest du dann den geschätzten Erwartungswert.

Denn: Das würde funktionieren.

Dann wäre dein Schätzer aber ein: $ [mm] \lambda_{N}:=\summe_{i=1}^{N} f(x_{i})\cdot{}P_N(x_{i}) [/mm] $ ?
Der Aufwand aus den gesampelten Daten eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu berechnen und erst damit den Erwartungswert ist halt deutlich höher als direkt den EW zu schätzen.

Es kann aber u.U. Sinn machen das so zu tun, wenn man [mm] P_N [/mm] sowieso berechnet hat.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Schätzer Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Mi 29.08.2018
Autor: Jellal

Hallo Gono,

die Verteilung will ich nicht schätzen, nur den Erwartungswert nach gegebener Verteilung. Wobei man von einem E-Wert bzgl. einer Verteilung künstlich übergehen kann zu einem E-Wert einer anderen Verteilung (sodass man nach dieser neuen Verteilung samplen kann, was im Falle der Gleichverteilung natürlich einfacher ist).

Bezug
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