Schätzer erwartungstreu? < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:51 Do 10.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Es seinen [mm] x_1,...,x_n [/mm] Realisierungen aus n [mm] \in [/mm] IN unabhängigen Bernoulli(p)-verteilten Zufallsvariablen, wobei der Parameter p [mm] \in [/mm] [0,1] unbekannt ist. Die Schätzer [mm] T_n [/mm] und [mm] S_n [/mm] seine für g(p)=p definiert durch:
[mm] T_n(x_1,...,x_n)=\overline{x}_n
[/mm]
[mm] S_n(x_1,...,x_n)=\bruch{1}{n+2}(1+n \overline{x}_n)
[/mm]
wobei [mm] (x_1,...,x_n) \in [/mm] { 0,1 [mm] }^n
[/mm]
a) Untersuche [mm] S_n [/mm] auf Erwartungstreue für p.
b) Berechne die mittleren quadratischen Fehler von [mm] T_n [/mm] und [mm] S_n. [/mm] |
Hallo,
Also zu berechnen ist ja [mm] E_p (S_n) [/mm] = [mm] E_p (\bruch{1}{n+2}(1+n \overline{x}_n)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+2}+\bruch{np}{n+2}=\bruch{np+1}{n+2}.
[/mm]
Daher ist der Schätzer nicht erwartungstreu.
Bei b ist ja zu berechnen
[mm] E_p((T_n-g(p))^2) [/mm] und [mm] E_p((S_n-g(p))^2) [/mm]
Es ist doch
[mm] E_p((T_n-p)^2)=E_p(T_n^2)-2pE_p(T_n)+p^2=p^2-2p^2+p^2=0 [/mm] kann das sein?
Und für [mm] S_n:
[/mm]
[mm] E_p(S_n^2)-2pE_p(S_n)+p^2=\bruch{4p^2-4p+1}{(n+2)^2}
[/mm]
Für eure Hilfe wäre ich - wie immer - sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Do 10.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> [mm]E_p((T_n-p)^2)=E_p(T_n^2)-2pE_p(T_n)+p^2=p^2-2p^2+p^2=0[/mm]
> kann das sein?
>
>
Moin, nein, das kann nicht sein. Du rechnest vermutlich mit [mm] $E_p(T_n^2)=p^2$, [/mm] was nicht korrekt ist.
Arbeite doch mit der alten Bauernregel
[mm] $E_p((T_n-p)^2)=(E_p(T_n)-p)^2+Var_p(T_n)$
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Do 10.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Und der Rest von dem was ich geschrieben habe, stimmt das?
Wenn ich [mm] Var(T_n) [/mm] bestimme, brauche ich doch auch [mm] E_p(T_n^2)
[/mm]
Für eine (etwas ausführlichere) Antwort wäre ich dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Do 10.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> Und der Rest von dem was ich geschrieben habe, stimmt das?
> Wenn ich [mm]Var(T_n)[/mm] bestimme, brauche ich doch auch
> [mm]E_p(T_n^2)[/mm]
Nicht unbedingt. $ [mm] S_n(x_1,...,x_n)=\bruch{1}{n+2}(1+n \overline{x}_n) [/mm] $ ist eine Lineartransformation von [mm] $\overline{x}_n$ [/mm] und die Varianz von [mm] $\overline{x}_n$ [/mm] ist ja nach Wurzel-n-Gesetz bekannt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Do 10.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Danke schon mal. Ich werde meine Lösung überarbeiten. Aber um die Frage nochmal zu stellen: Was ist mit dem Rest, den ich geschrieben hatte? Insbesondere Teil a)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Do 10.07.2014 | | Autor: | luis52 |
a) sieht korrekt aus, b) misstraue ich, bin aber zu faul das nachzurechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 10.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Neuer Versuch:
jetzt erhalte ich für den mittleren quadr Fehler von [mm] S_n:
[/mm]
[mm] \bruch{3p^2-4p+1+np}{(n+2)^2}
[/mm]
und für [mm] T_n
[/mm]
[mm] \bruch{p(1-p)}{n}
[/mm]
Ich wäre schon froh, es würde sich jemand die Mühe machen, das nachzurechnen...
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Hallo,
> Neuer Versuch:
>
> jetzt erhalte ich für den mittleren quadr Fehler von [mm]S_n:[/mm]
> [mm]\bruch{3p^2-4p+1+np}{(n+2)^2}[/mm]
> und für [mm]T_n[/mm]
> [mm]\bruch{p(1-p)}{n}[/mm]
>
> Ich wäre schon froh, es würde sich jemand die Mühe
> machen, das nachzurechnen...
Mein Vorschlag:
Du rechnest das mal ausführlich hier vor, dann können wir das gerne nachkontrollieren.
Warum in aller Welt sollten wir den Kram nochmal neu berechnen? Ist doch unsinnige Kraftverschwendung. Du hast das ja schon gerechnet.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Dann nochmal etwas ausführlicher
a) [mm] E_p(S_n)= E_p(1/(n+2))+E_p(\bruch{n}{n+2} \overline{x}_n)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+2}+\bruch{n}{n+2} E_p(\overline{x}_n) [/mm] = [mm] \bruch{np+1}{n+2}
[/mm]
b) [mm] (E_p(T_n)-p)^2+Var_p(T_n) [/mm] = [mm] Var_p(T_n)= \bruch{p(1-p)}{n}
[/mm]
[mm] (E_p(S_n)-p)^2+Var_p(S_n)=(\bruch{np+1}{n+2}-p)^2+\bruch{n^2}{(n+2)^2} Vap_p( \overline{x}_n)
[/mm]
[mm] =(\bruch{2p+1}{n+2})^2+(\bruch{n}{n+2})^2 [/mm] * [mm] \bruch{p(1-p)}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{3p^2+5p+1}{(n+2)^2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich würde mich wirklich freuen, wenn man jemand über meine Rechnungen drüber schauen könnte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 12.07.2014 | | Autor: | luis52 |
^
> b) [mm](E_p(T_n)-p)^2+Var_p(T_n)[/mm] = [mm]Var_p(T_n)= \bruch{p(1-p)}{n}[/mm]
>
> [mm](E_p(S_n)-p)^2+Var_p(S_n)=(\bruch{np+1}{n+2}-p)^2+\bruch{n^2}{(n+2)^2} Vap_p( \overline{x}_n)[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{2p+1}{n+2})^2+(\bruch{n}{n+2})^2[/mm] *
> [mm]\bruch{p(1-p)}{n}[/mm]
> [mm]=\bruch{3p^2+5p+1}{(n+2)^2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $(\bruch{np+1}{n+2}-p)^2=(\bruch{1-2p}{n+2})^2$
[/mm]
Ich kuerze das jetzt mal ab: Mathematica erhaelt
[mm] $\frac{-n p^2+n p+4 p^2-4
p+1}{(n+2)^2}$
[/mm]
Der Rest stimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Danke schon mal!
Nun soll man noch diejenigen p [mm] \in [/mm] [0,1] bestimmen, für die [mm] R(p,T_n)>R(p,S_) [/mm] gilt.
Mein Rechnung dazu:
[mm] \bruch{p(1-p)}{n} [/mm] > [mm] \bruch{-np^2+np+4p^2-4p+1}{(n+2)^2}
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] 8pn-8p^2 [/mm] n [mm] -4p^2+4p [/mm] > n
Umgeformt:
[mm] 4p(2n+1)-4p^2 [/mm] (2n+1) > n
[mm] (2n+1)(4p-4p^2)>n
[/mm]
[mm] p(1-p)>\bruch{n}{8n+4}
[/mm]
Die rechte Seite geht ja gegen 1/8 für n gegen unendlich.
Aber solche p, dass p(1-p)>1/8 ist, existieren doch gar nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Sa 12.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Aber solche p, dass p(1-p)>1/8 ist, existieren doch gar
> nicht...
Wirklich? Wie kommst du denn da drauf?
Der Ausdruck $p*(1-p)$ nimmt für [mm] $p\in{[0; 1]}$ [/mm] alle Werte in $[0; 0,25]$ an, das Maximum für $p=0,5$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ja klar stimmt. Es gilt für p zwischen 0,146 und 0,853. Aber stimmt meine Rechnung überhaupt? Speziell dass ich einfach zum Grenzwert ueber gehen darf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 So 13.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ja klar stimmt. Es gilt für p zwischen 0,146 und 0,853.
> Aber stimmt meine Rechnung überhaupt? Speziell dass ich
> einfach zum Grenzwert ueber gehen darf?
Du möchtest jene Werte [mm] $p\in[0;1]$ [/mm] angeben, für die $ [mm] p(1-p)>\bruch{n}{8n+4} [/mm] $ gilt?
Das ist ein Intervall, welches symmetrisch zu 0,5 ist und dessen Breite von n abhängt.
Für $n=0$ erhältst du das ganze Intervall $[0;1]$ und je größer $n$ wird, desto kleiner wird diese Intervall. Für [mm] $n\to{\infty}$ [/mm] strebt dieses Intervall dann eben nach [mm] $\left[\frac{1}{2}-\frac{\wurzel{2}}{4};\frac{1}{2}+\frac{\wurzel{2}}{4}\right]\approx{[0,146; 0,854]}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 So 13.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Und wie würde dann die korrekte Antwort auf die frage lauten, für welche p das gilt? Für alle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 So 13.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Und wie würde dann die korrekte Antwort auf die frage
> lauten, für welche p das gilt? Für alle?
"das" ?
Wir reden immer noch von
$ \bruch{p(1-p)}{n} > \bruch{-np^2+np+4p^2-4p+1}{(n+2)^2} $
bzw.
$ p(1-p)>\bruch{n}{8n+4} $ ?
Wie schon geschrieben ist das natürlich abhängig von n und es ergibt sich das kleinste Intervall für $ n\to{\infty}$. Dieses ist klarerweise in allen anderen enthalten. "Für alle", wie du oben meinst, gilt nur für $n=0$.
Um das Intervall in Abhängigkeit von n zu erhalten musst du doch nur die entsprechende quadratische Gleichung lösen. Die Intervallbreite ergibt sich dann mit $\wurzel{\frac{n+1}{2n+1}}$ und das Intervall selbst dann mit
$\left[{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}*\wurzel{\frac{n+1}{2n+1}}}\quad ;\quad \frac{1}{2}+\frac{1}{2}*\wurzel{\frac{n+1}{2n+1}}}}\right]$
Gruß RMix
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 So 13.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Super, danke, rmix22, jetzt ist es klar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 So 13.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> Danke schon mal!
>
> Nun soll man noch diejenigen p [mm]\in[/mm] [0,1] bestimmen, für
> die [mm]R(p,T_n)>R(p,S_)[/mm] gilt.
>
> Mein Rechnung dazu:
>
> [mm]\bruch{p(1-p)}{n}[/mm] > [mm]\bruch{-np^2+np+4p^2-4p+1}{(n+2)^2}[/mm]
>
>
FYI, setzt man die beiden Seiten gleich, so liefert Mathematica:
[mm] \left\{\left\{p\to \frac{-\sqrt{2
n^2+3 n+1}+2 n+1}{2 (2
n+1)}\right\},\left\{p\to
\frac{\sqrt{2 n^2+3 n+1}+2
n+1}{2 (2 n+1)}\right\}\right\}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 So 13.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Und wie kommt mam auf dieses Ergebnis? Ich habe es jetzt zweimal gerechnet und komme immer auf das Ergebnis das ich gepostet hatte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 So 13.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> Und wie kommt mam auf dieses Ergebnis?
Wie ist diese Frage zu verstehen? Es ist doch nur eine, wenngleich unuebersichtliche Gleichung in $p$ zu loesen:
$ [mm] 8pn-8p^2 [/mm] n [mm] -4p^2+4p- [/mm] n=0 $
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