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Schätzung: Korrektur
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 12:07 Mo 01.02.2021
Autor: TS85

Aufgabe
Wsk für rot-grün-Blindheit für Mann q [mm] \in [/mm] (0,1), für Frau [mm] q^2. [/mm]
Bei Experiment werden n zufällig Männer und m zufällig Frauen auf r.g.B. untersucht, bei den Männern seien dies n', bei Frauen m'. n+m>0.

i) Auf Basis von n' und m' q schätzen. Formulierung Schätzproblem und ML-Schätzer [mm] \hat_q [/mm] für q bestimmen.
ii) Prüfen des Schätzers durch Spezialfälle m=m'=0 und n=n'=0 und Vergleich mit dem, was man erwarten würde.
iii) zz.: [mm] \hat_q [/mm] im Spezialfall n=n'=0 nicht erwartungstreu.

Hallo,

wegen des Schreibaufwandes eine etwas abgekürzte Version.

i)
1. [mm] \mathcal{X}=\{1,...,|Gesamtbevolkerung|\}^{n+m} [/mm]
2. [mm] \Theta=\{0,1\} [/mm] und [mm] \theta=q \in \Theta [/mm]
3. [mm] P_{\theta}(\{1,...,n\}\cup\{n+1,...,n+m\})=\vektor{n \\ n'}\theta^{n'}(1-\theta)^{n-n'}+\vektor{m \\ m'}(\theta^2)^{m'}(1-\theta^2)^{m-m'} [/mm]
(wie [mm] P_{\theta} [/mm] zu Beginn besser definieren?)
4. Zu Schätzen ist [mm] g(\theta)=\theta [/mm] (Annahme Binomialverteilung, da Auswahl einer Stichprobe aus Grundgesamtheit)

Nachfolgend habe ich den Schätzer einmal univariat für n und m aufgestellt, einmal bivariat (unklar, da nachfolgende Aufgabe ii) auch nur nach n fragt).

[mm] \mathcal{L}_{n',m'}(q)=ln(\vektor{n \\ n'}\q^{n'}(1-q)^{n-n'}+\vektor{m \\ m'}(q^2)^{m'}(1-q^2)^{m-m'}) [/mm]

Und

[mm] \mathcal{L}_{n'}(q)+\mathcal{L}_{m'}(q)= [/mm]
[mm] \underbrace{ln(\vektor{n \\ n'}q^{n'}(1-q)^{n-n'})}_{\mathcal{L}_{n'}(q)}+\underbrace{ln(\vektor{m \\ m'}(q^2)^{m'}(1-q^2)^{m-m'})}_{\mathcal{L}_{m'}(q)} [/mm]

Die 2. Variante führt nach dem Ableiten und Nullsetzen mit n'=m'=0 auf [mm] \hat_q=0, [/mm] was man auch erwarten würde (oder sollen n und m auch =0 sein?)
Die Schätzer sind nachvollziehbar und ergeben Sinn.

Soweit bekannt lässt sich der erste Fall auch nicht nach 0 aufzulösen
und scheint auch zu kompliziert/falsch zu sein.

iii) [mm] E_{\theta}(\hat_g)= E_{\theta}(\hat_q_{n'})=g(\theta)=g(q)=\bruch{n'}{n}=0\not=q, [/mm] da q [mm] \in [/mm] (0,1) (vermutlich aber andere Grund?)

Was kann verbessert werden?



        
Bezug
Schätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Mo 01.02.2021
Autor: TS85

Die Bearbeitung hat sich aus Zeitgründen bereits erledigt.

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