Schätzung relativer Fehler < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 09.04.2010 | | Autor: | fiktiv |
| Aufgabe | [mm]\Delta V = 3\alpha*V_{0}*\Delta T[/mm]
Schätzen Sie den Fehler ab, wecher durch die Verwendung dieser Beziehung zur Volumenberechnung entsteht. |
Hallo,
es handelt sich grundlegend erstmal um die Thematik der thermischen Ausdehnung.
Die Frage entstand aus dem Zusammenhang, dass für die Gleichung [mm]\Delta V = \beta*V_{0}*\Delta T[/mm] für [mm]\beta = 3\alpha[/mm] eingesetzt werden darf.
Nun stellt sich mir die Frage, wie ich so einen Fehler in einem vernünftigen Maß schätze.
Ich habe mich belesen, dass in der Entstehung dieser Gleichsetzung ein paar vernachlässigbare "Anhängsel" zurückgelassen wurden.. aber was bedeutet dieses "vernachlässigbar" nun in einer relativen Fehlerschätzung?
Spricht man in dem Zusammenhang von 1-2 Prozentpunkten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Fr 09.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm für V nen Würfel [mm] V=a^3 [/mm] findest du bei Erwärmung:
[mm] \Delta a=\alpha*a*\Delta [/mm] T
jetzt [mm] \Delta [/mm] V ausrechnen: [mm] $\Delta V=(a+\Delta a)^3-a^3=3a^2*\Delta a+3a*(\Delta a)^2+(\Delta a)^3$
[/mm]
wenn also [mm] $\Delta [/mm] a<<a$, ist [mm] (\Delta a)^2 [/mm] noch viel kleiner, und erst recht [mm] (\Delta a)^3.
[/mm]
Das ist ein übliches Vorgehen in Physik, man betrachtet bei relativen Fehlern (hier [mm] $\Delta [/mm] a/a$) die viel kleiner als 1 sind die Quadrate und höhere Potenzen als vernachlässigbar.
wenn der rel Fehler etwa 1% ist, ist ja das Quadrat nur noch 0.01%
Du betrachtest also besser die relative Änderung zum argumentieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Fr 09.04.2010 | | Autor: | fiktiv |
Hallo leduart,
so in etwa hatte ich (bezüglich der Vernachlässigung) hier auch die Begründung der Ersetzungsentstehung von [mm]\beta[/mm] vermutet, danke 
Den Sprung zum relativen Fehler habe ich da aber noch nicht geschafft.
Die relative Änderung als Argumentationsbasis.. aber die verwende ich doch sowieso, weil ich nur [mm]\Delta T[/mm] betrachte? Oder hänge ich gerade arg?
Die Frage zielt doch darauf ab, dass diese beiden "Anhängsel" in der Gleichung vernachlässigt wurden und jetzt nur mit den dem "großen" Teil gerechnet wird?
Gerade weil [mm](\Delta a)^2[/mm] und [mm](\Delta a)^3[/mm] ja viel kleiner sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Fr 09.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was [mm] \Delta [/mm] a klein bedeutet ist nicht klar, deshalb sollte man [mm] $\Delta [/mm] a/a$ ansehen
es gilt doch:
$ [mm] \Delta V=(a+\Delta a)^3-a^3=3a^2\cdot{}\Delta a+3a\cdot{}(\Delta a)^2+(\Delta a)^3 [/mm] $
also [mm] \Delta V/V=3a^2\cdot{}\Delta a/a^3+3a\cdot{}(\Delta a)^2/a^3+(\Delta a)^3/a^3
[/mm]
also [mm] \Delta V/V=3*\Delta a/a+3*(\Delta a/a)^2+(\Delta a/a)^3
[/mm]
also etwa mit [mm] \Delta [/mm] a/a=1%=0.01 weicht der mit deiner Formel beschriebene Wert um 0.0003+0.000001 vom richtigen ab.
also etwa 1/3 Promill. Irgendwann, also bei riesigen [mm] \Delta [/mm] T macht es dann langsam was aus, aber bei 10% für [mm] \Delta [/mm] a/a auch erst 3%
Folgerung bis ca [mm] \Delta [/mm] a/a=5% ist die Formel gut, danach nicht mehr, daraus kannst du ablesen für welche [mm] \Delta [/mm] T sie noch vernünftig ist.
gruss leduart
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