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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktionenschar [mm] f_{k} [/mm] mit [mm] f_{k}(x) =\bruch{4x}{x^2+k} [/mm] , k [mm] \in \IR
[/mm]
Für k > 0 liegen auf dem Graphen von [mm] f_{k} [/mm] die beiden Punkte [mm] T_{k}(- \wurzel{k} [/mm] | - [mm] \bruch{2}{\wurzel{k}} [/mm] und [mm] H_{k}( \wurzel{k} [/mm] | [mm] \bruch{2}{\wurzel{k}}. [/mm] Die Verbindungsstrecke dieser beiden Punkte soll die Seite eines Quadrates bilden.
Ermitteln Sie den Wert von k, für den der Flächeninhalt dieses Quadrates minimal wird! |
Hallo zusammen,
ich stecke gerade irgendwie bei dieser Aufgabe fest, da ich keinen wirklichen Ansatz finde, diese Aufgabe zu lösen. Wahrscheinlich ist das ganz einfach, aber anscheinend hab ich ein Brett vorm Kopf.
Zunächst habe ich versucht eine Gerade aufzustellen, die durch die beiden Extrempunkte geht. Dabei bin ich auf [mm] y_{1} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{4}{\wurzel{k}}}{2 \wurzel{k}}* [/mm] (x- [mm] \wurzel{k}) [/mm] + [mm] \bruch{2}{\wurzel{k}}
[/mm]
Zunächst habe ich mir erst überlegt, dass ich diese Funktion quadrieren muss um an eine Gleichung für den Flächeninhalt zu kommen, allerdings haben ja die anderen zwei Seiten eine andere Steigung, sie stehen ja orthogonal zu der Geraden [mm] y_{1}.
[/mm]
Deshalb habe ich nun noch eine zweite gerade aufgestellt und zwar [mm] y_{2} [/mm] = - [mm] \bruch{2* \wurzel{k}}{\bruch{4}{\wurzel{k}}}* [/mm] (x - [mm] \wurzel{k}) [/mm] + [mm] \bruch{2}{\wurzel{k}}
[/mm]
Nun habe ich versucht eine Gleichung A(x) aufzustellen, um dort schließlich die Extremstellen zu bestimmen. Diese Gleichung habe ich erstellt durch [mm] y_{1}*y_{2}
[/mm]
Allerdings glaube ich, dass das falsch ist... zumindest bekomme ich kein Ergebnis raus... Wo liegt mein Denkfehler?
Meine eigene Vermutung ist, dass ich ja die Geraden ermittelt hab und nicht die einzelnen Strecken... allerdings hab ich keine Idee, wie ich die Aufgabe anders angehen bzw. lösen könnte...
Würde mich freuen, wenn sch jemand melden würde!
Danke schonmal im Voraus!
LG Pia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Fr 12.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pia,
> Zunächst habe ich mir erst überlegt, dass ich diese
> Funktion quadrieren muss um an eine Gleichung für den
> Flächeninhalt zu kommen,
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Nun habe ich versucht eine Gleichung A(x) aufzustellen, um
> dort schließlich die Extremstellen zu bestimmen. Diese
> Gleichung habe ich erstellt durch [mm]y_{1}*y_{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Allerdings glaube ich, dass das falsch ist... zumindest
> bekomme ich kein Ergebnis raus... Wo liegt mein
> Denkfehler?
Schwer zu sagen. Jedenfalls hat die von dir berechnete Funktion nichts mit dem Flächeninhalt des Quadrates zu tun.
> Meine eigene Vermutung ist, dass ich ja die Geraden
> ermittelt hab und nicht die einzelnen Strecken...
In der Tat hast du nirgendwo eine Streckenlänge ermittelt!
> allerdings hab ich keine Idee, wie ich die Aufgabe anders
> angehen bzw. lösen könnte...
Bestimme zunächst den Flächeninhalt $A(k)$ des Quadrates. Dann kannst du untersuchen, für welches $k>0$ dieser Wert minimal wird. Um $A(k)$ zu bestimmen, benötigst du die Länge der Seiten des Quadrates. Alle vier Seiten haben ja die gleiche Seitenlänge, also kannst du einfach die Länge irgendeiner Seite bestimmen. Nimm naheliegenderweise die Seite, die durch die Strecke von [mm] $T_k$ [/mm] nach [mm] $H_k$ [/mm] gegeben ist. Ihre Länge ist nichts anderes als der Abstand dieser beiden Punke.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank für deine Antwort!
Irgendwie hatte ich anscheinend einen totalen Denkfehler ;)
Ich hab jetzt die Länge des Verschiebungsvektors berechnet und komm dann quadriert auf A(k) = [mm] \bruch{4*(k^2+4)}{k} [/mm] und komme über die Extremstellen schließlich auf k=2, wofür der Flächeninhalt minimal wird. Der Wert klingt in meinen Ohren relativ logisch :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Fr 12.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab jetzt die Länge des Verschiebungsvektors
> berechnet und komm dann quadriert auf A(k) =
> [mm]\bruch{4*(k^2+4)}{k}[/mm] und komme über die Extremstellen
> schließlich auf k=2, wofür der Flächeninhalt minimal
> wird.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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