Scheitelpunkt einer Parabel < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel [mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] , die S als Scheitelpunkt hat und durch den Punkt P geht.
S(2/-4) P(1/-2)
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Ich habe keine Ahnnung wie ich das machen soll! Muss ich die Scheitelpunkte in die Scheitelpunktsform einsetzen und ausrechnen? Und woher weiß ich den Stauchungs-/Streckungsfaktor oder gibt es hier keinen? Wie bekomme ich den Punkt P in diese Formel? Ich weiß nur, dass c der Schnittpunkt mit der y-Achse ist und a der Stauchungs-/Streckungsfaktor, aber was b ist und wie ich das ausrechne, kann ich nirgends finden. Auch weiß ich nicht an welche Stelle die anderen Koordinaten aus P in der Formel gehören.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm] ,
> die S als Scheitelpunkt hat und durch den Punkt P geht.
>
> S(2/-4) P(1/-2)
>
> Ich habe keine Ahnnung wie ich das machen soll! Muss ich
> die Scheitelpunkte in die Scheitelpunktsform einsetzen und
> ausrechnen?
Du hast nur einen Scheitelpunkt. =)
> Und woher weiß ich den
> Stauchungs-/Streckungsfaktor oder gibt es hier keinen?
Den gibt es. Du nimmst die allgemeine Gleichung für eine Parabel in Scheitelpunktform.
[mm] f(x)=r(x-s)^2 [/mm] + k
Jetzt bestimmst Du s und k mit Hilfe des Scheitelpunkts von oben.
Damit fehlt Dir noch r. Das erhältst Du, indem Du f(1)=-2 setzt.
a, b und c erhältst Du dann, indem Du die Scheitelpunktform ausmultiplizierst.
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| Aufgabe | | [mm] r(x-2)^2-4 [/mm] |
Ist das so die Scheitelpunktsform? Da fehlt mir dann, aber doch noch x ? Oder muss ich für f(x)dann -2 und für x 1 einsetzen? und dann r ausrechnen?
Und wie bekomme ich den anderen Punkt (1/-2) in die Normalform, das geht dann doch nicht mit der Scheitelpunktsform oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
> [mm]r(x-2)^2-4[/mm]
> Ist das so die Scheitelpunktsform?
Richtig =)
> Da fehlt mir dann, aber
> doch noch x ? Oder muss ich für f(x)dann -2 und für x 1
> einsetzen?
Ja.
[mm]f(x)=r(x-2)^2-4[/mm]
[mm]f(1)=r(1-2)^2-4 = -2[/mm] (weil der Graph durch P geht)
Damit erhältst Du r. Dann einfach ausmultiplizieren:
[mm]r(x-s)^2+k = r(x^2 -2sx +s^2)+k= r*x^2 -2rs*x +(rs^2+k)[/mm]
Damit ist dann a=r, b=-2rs und [mm] c=rs^2+k
[/mm]
> Und wie bekomme ich den anderen Punkt (1/-2) in die
> Normalform, das geht dann doch nicht mit der
> Scheitelpunktsform oder?
?
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| Aufgabe | | [mm] r=(x-2)^2-4 [/mm] |
[mm] -2=r(1-2)^2-4
[/mm]
ergibt nach r umgestellt r=2
setzte ich dann b=-2*2*-2 b=8
und [mm] c=(-2)^2-4 [/mm] c=0
Ist dann das Ergebniss der Aufgabe [mm] f(x)=2x^2+8x?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
> [mm]r=(x-2)^2-4[/mm]
> [mm]-2=r(1-2)^2-4[/mm]
> ergibt nach r umgestellt r=2
> setzte ich dann b=-2*2*-2 b=8
s=2, nicht -2 (ich hatte ja die SPF als [mm] $r(x-s)^2+k$ [/mm] geschrieben),
damit b=-8
> und [mm]c=(-2)^2-4[/mm] c=0
Das kann auch nicht stimmen, da hab ich mich vertan:
[mm] c=rs^2+k
[/mm]
[mm] $f(x)=2(x-2)^2-4 [/mm] = [mm] 2(x^2 [/mm] - 4x + 4) -4 = [mm] 2x^2 [/mm] - 8x + 4$
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Gelten die Formeln für b und c immer?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Gelten die Formeln für b und c immer?
Ich hab ja oben geschrieben, wie ich drauf gekommen bin (inkl. Fehler, den muß ich noch korrigieren =).
Solang Deine Parabel in der entsprechenden Form ist, ja.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Do 11.10.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> [mm]r=(x-2)^2-4[/mm]
> [mm]-2=r(1-2)^2-4[/mm]
> ergibt nach r umgestellt r=2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du hast ja jetzt alle Parameter aus der Scheitelpunktsform
$ [mm] f(x)=r(x-s)^2 [/mm] + k $
r=2, s=2, k=-4
Diese setzt Du nun in die Scheitelpunktsform ein:
[mm] $\Rightarrow\ f(x)=2(x-2)^2-4$
[/mm]
und multiplizierst diese aus:
[mm] $\Rightarrow\ f(x)=2(x^2-4x+4)-4$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ f(x)=2x^2-8x+8-4$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ f(x)=2x^2-8x+4$
[/mm]
Wegen dieser einfachen Rechnung lohnt es sich also eigentlich nicht, extra Formeln für b und c zu erstellen oder gar auswendig zu lernen. Es reicht, sich zu merken, dass man allgemeine Normalform einer Parabel [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] erhält, indem man in der Scheitelpunktsform [mm] $f(x)=a(x-d)^2+e$ [/mm] die Klammern auflöst.
Viele Grüße,
Marc
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