Scheitelpunktberechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 So 17.04.2005 | | Autor: | Pinguin |
Moin aus Hamburg,
habe ne Frage zur folgenden Funktion:
[mm] 0,2x^2 [/mm] + 1,2x + 1,6
Wie kann ich ohne Verwendung von Ableitungsfunktionen den Scheitelpunkt bestimmen. Bin irgendwie zu lange raus aus der Thematik und wäre über Hilfe sehr dankbar.
Gruß,
Pinguin
p.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 So 17.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pinguin!
Auch Dir hier natürlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> [mm]0,2x^2 + 1,2x + 1,6[/mm]
>
> Wie kann ich ohne Verwendung von Ableitungsfunktionen den
> Scheitelpunkt bestimmen. Bin irgendwie zu lange raus aus
> der Thematik und wäre über Hilfe sehr dankbar.
Das Stichwort hier lautet quadratische Ergänzung, um diese Funktionsvorschrift in die sog. Scheitelpunktsform zu bringen.
Diese lautet allgemein: $f(x) \ = \ a * [mm] \left(x - x_S\right)^2 [/mm] + [mm] y_S$
[/mm]
Dabei sind [mm] $x_S$ [/mm] und [mm] $y_S$ [/mm] die Koordinaten des Scheitelpunktes $S \ [mm] \left( \ x_S \ \left| \ y_S \ \right)$.
$f(x) \ = \ 0,2*x^2 + 1,2*x + 1,6$
Zunächst "0,2" ausklammern:
$f(x) \ = \ 0,2*\left(x^2 + 6*x + 8\right)$
Um nun aus der Klammer mit der [b]binomischen Formel[/b] $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ ein "Quadrat-Produkt" machen zu können, müsste da am Ende "9" stehen, wegen:
$\left(\bruch{6}{2}\right)^2 \ = \ 3^2 \ = \ 9$.
Aus der "8" können wir ganz schnell eine "9" machen, indem wir "+1" addieren.
Um den Ausdruck aber nicht zu verändern, müssen wir diese "1" auch gleich wieder abziehen:
$f(x) \ = \ 0,2*\left(x^2 + 6*x + 8 \ \underbrace{+ 1 - 1}_{= \ 0}\right)$
$f(x) \ = \ 0,2*\left(x^2 + 6*x + 9 - 1\right)$
$f(x) \ = \ 0,2*\left[\left(x^2 + 6*x + 9\right) - 1\right]$
Nun die binomische Formel anwenden:
$f(x) \ = \ 0,2*\left[\left(x + 3\right)^2 - 1\right]$
$f(x) \ = \ 0,2*\left(x + 3\right)^2 - 0,2*1$
$f(x) \ = \ 0,2*\left[x - (\red{- \ 3})\right]^2 \ \blue{- \ 0,2}$
Unser gesuchter Scheitelpunkt hat also die Koordinaten $S \ \left( \ \red{-3} \ \left| \ \blue{- \ 0,2} \ \right)$
Nun klar(er) ??
Gruß
Loddar
[/mm]
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Hi, Pinguin,
alles Dolly, oder was?!
Hier eine Alternative, die allerdings nur dann geht, wenn die Funktion Nullstellen hat!
(Aber das ist bei Deinem Beispiel ja der Fall!)
Also: Wenn die Funktion Nullstellen hat, dann liegt der Scheitel sozusagen "genau mitten dazwischen". (Natürlich ist damit nur seine x-Koordinate gemeint!)
Nehmen wir Dein Beispiel: [mm] y=0,2x^{2} [/mm] + 1,2x + 1,6.
Nullstellen: x=-2 und x=-4.
Die "Mitte": x=-3.
Das ist die x-Koordinate des Scheitels.
Für die Berechnung der y-Koordinate musst Du das noch in Deinen Funktionsterm einsetzen:
y = [mm] 0,2*(-3)^{2} [/mm] +1,2*(-3) + 1,6 = -0,2.
Demnach: S(-3; -0,2).
(Ceterum censeo: Loddar hat immer Recht!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 So 17.04.2005 | | Autor: | Pinguin |
Hallo ihr,
vielen Dank!
Werde versuchen eurem Forum treu zu bleiben und mich selbst etwas zu beteiligen.
Danke für die schnelle Hilfe
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