Schiefer Wurf < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
folgendes Problem: gegeben ist die Anfangsgeschwindigkeit [mm] $v_0$ [/mm] und die maximale Höhe $h$. Ich möchte nun den Abwurfwinkel [mm] $\alpha_0$ [/mm] berechnen, mit welchem die gegebene Höhe erreicht wird.
Kann mir jemand einen Tipp gebene, wie ich das angehen kann?
Bekannt ist ja die Wurfparabel:
$h = tan [mm] \alpha_0 [/mm] x - [mm] \bruch{g}{2 v_0^2} [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{cos^2 \alpha}$
[/mm]
Nur kommt es damit glaube ich nicht hin. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Wenn deine Wurfparabel stimmt, und h(x) bzw y(x) gelten soll, dann stelle die Parabel doch zur Scheitelpunktsform um!
Es handelt sich ja um eine nach unten geöffnete Parabel, und dann ist der Scheitelpunkt automatisch der höchste Punkt.
Dann setzt du den Scheitelpunkt ein und kannst nach [mm] \alpha [/mm] auflösen.
LG
Kroni
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Danke für den Tipp, aber mir fällt gerade auf: was genau ist eigentlich x? Ist das nicht der Ort an dem sich der Massepunkt befindet? Dafür habe ich ja keinen Wert... ist es dennoch möglich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Der Scheitelpunkt befindet sich immer in der Mitte zwischen den beiden x-Achsen-Schnittpunkten.
Sprich: Wenn du weist, wo dein Massepunkt wieder auf y=0 zurückkommt, dann weist du, an welcher Stelle der höchste Wert erreicht werden muss.
Diese höchste Wert ist dann h.
LG
Kroni
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Ok, dann setzen wir
$a := - [mm] \bruch{g}{2 * v_0 * \cos^2(\alpha_0)}$
[/mm]
$c := [mm] \tan{\alpha_0}$
[/mm]
womit sich ergibt:
$h(x)=a * [mm] x^2 [/mm] + c$
Die Scheitelpunktform wäre doch dann:
[mm] $h(x)=a(x-b)^2+c$, [/mm] wobei $b=0$ ist.
Die Scheitelpunkte wären dann
[mm] $x_s=\bruch{-b}{2a} [/mm] = 0$
[mm] $y_s= c-\bruch{b^2}{4a}=tan ~\alpha_0$ [/mm]
Soll ich jetzt für $tan [mm] ~\alpha_0$ [/mm] einfach h einsetzen und dann nach [mm] $\alpha$ [/mm] auflösen?
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Hallo,
mir ist gerade aufgefallen, dass die Wurfparabel nicht stimmt. Laut Wikipedia gilt vielmehr (mit Anfangshöhe [mm] $h_0$):
[/mm]
[mm] $h=h(s)=-\bruch{g}{2 * v_0^2 *cos^2(\alpha)}*s^2+tan(\alpha)*s+h_0$
[/mm]
Wir setzen wieder:
$a := [mm] -\bruch{g}{2 * v_0^2 *cos^2(\alpha)}$
[/mm]
$b := [mm] tan(\alpha)$
[/mm]
$c := [mm] h_0$
[/mm]
Also gilt: [mm] $a*s^2+b*s+c$
[/mm]
[mm] $x_s=\bruch{-b}{2a}=-tan(\alpha) [/mm] * (- [mm] \bruch{v_0^2 * cos(\alpha)}{g})$
[/mm]
[mm] $y_s=\bruch{tan^2(\alpha)*cos^2(\alpha)*v_0^2}{2g}$
[/mm]
Aber wie geht's nun weiter bzw. wie soll man das einsetzen? :)
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Für die maximale Höhe beim schiefen Wurf gilt
h(max)=v0 hoch 2 *sin hoch 2 (alpha) / 2g.
Löst du nun nach sin(alpha) auf, erhältst du
[mm] \alpha=inv-sin [/mm] (Wurzel aus(h(max)+2*g:(vo hoch 2))).
Bin mit dem Formeldeitor noch nicht so bewandert.
Bsp: h=30m, vo=50m/s folgt:
h*2*g ist etwa 600, durch 2500 teilen, ergibt 0,24.
dann Wurzelziehen, gibt 0,49.
Mit TR deg-Einstellung auf
Inv Sin bzw. sin hoch -1 tippen: Ergebnis 29,3°.
Gruß Trygve
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Meinst Du:
[mm] $h_{max}=\bruch{v_0^2 * sin^2(\alpha)}{2g}$
[/mm]
[mm] \alpha=sin^{-1}(\wurzel{h_{max}+\bruch{2g}{v_0^2}})
[/mm]
Wenn ja, spart das natürlich viel Arbeit, vielen Dank! ;)
Weißt Du, wo ich eine Herleitung für die Formeln finden kann?
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Erste Formel ja,
bei der zweiten ist es ein mal stastt plus unter der Wurzel.
Formel ist aus der Formelsammlung vom Klett-Verlag,
die auch in meinem Kurs eingeführt ist.
Herleitung steht im Buch, z.B. Metzler oder Dorn.
Kann sie dir auch herleiten, aber erst heut abend.
Gruß Trygve.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Fr 15.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Herleitung für die Wurfparabel spare ich mir jetzt, die setzte ich als bekannt vorraus.
Dann hast du die Wurfparabel:
[mm] y(x)=y_0+x*tan\alpha-\frac{g}{2v_0^2\cdot cos^2\alpha}\cdot x^2
[/mm]
mit [mm] y_0: [/mm] Abwurfhöhe
Jetzt versuchen wir, diese Wurfparbel in ihre Scheitelpunktsform zu bringen, und sind damit dann eigentlich schon fertig:
[mm] y(x)=-\frac{g}{2v_0^2cos^2}\left( x^2-\frac{2v_0^2\cdot sin \cdot cos^2}{cos \cdot g}\cdot x - \frac{2v_0^2 \cdot cos^2}{g}\cdot y_0\right)
[/mm]
jetzt die quadratische Ergänzung und zusammenziehen der Formel in eine Klammer:
[mm] y(x)=-\frac{g}{2v_0^2cos^2}\left(\left(x-\frac{v_0^2 \cdot sin \cdot cos}{g}\right)^2-\frac{v_0^4\cdot sin^2\cdot cos^2}{g^2}-\frac{2v_0^2\cdot cos^2}{g}\cdot y_0\right)
[/mm]
Nun lösen wir die äußerste Klammer auf, und sehen folgendes:
[mm] y(x)=-\frac{g}{2v_0^2 \cdot cos^2}\left(x-\frac{v_0^2 \cdot sin \cdot cos}{g}\right)^2+\frac{v_0^2 \cdot sin^2}{2g}+y_0
[/mm]
Jetzt können wir hierraus den Scheitelpunkt deiner Parabel ablesen:
[mm] S\left(\frac{v_0^2 \cdot sin \cdot cos}{g}\; ; \; \frac{v_0^2 \cdot sin^2}{2g} + y_0\right)
[/mm]
Jetzt sehen wir: Du hast [mm] h_{max} [/mm] vorgegeben, und die größte Höhe wird am Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel erreicht.
Also gilt für [mm] h_{max}=\frac{v_0^2 \cdot sin^2}{2g} [/mm] + [mm] y_0
[/mm]
Jetzt nach [mm] sin^2 [/mm] umformen und auflösen, und du bist zu Hause.
Du siehst auch, dass sich die x-Koordinate bei deinen Vorgaben sich sozusagen dem Winkel fügt. Du kannst also entweder sagen: Da soll der höchste Punkt sein bei x= so und so , und dann richtet sich der y-Wert danach, oder aber du sagst: y soll so groß sein, dann richtet sich der x-Wert danach.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Fr 15.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Die Antwort bzw Rechnung findest du weiter unten von meinem letzten Beitrag.
LG
Kroni
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