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| Aufgabe | [mm] x^2+ [/mm] Wurzel aus x =84
x=9
Berechnen sie den Lösungsweg |
Ja Hallo ihr Lieben!
Gleich mal vorab, ich kenne die Lösung nicht, mein Bruder gab mir die Aufgabe und mein Mathelehrer brütet wohl im Moment darüber...
find ich persönlich sehr witzig, vielleicht hat ja jemand Lust sich damit zu beschäftigen.
Sollte es jemand lösen, vielleicht darf ich euch dann an meinen Mathelehrer durchstellen, da er im Moment davon aus geht, dass es sich um einen Aprilscherz handelt *hihi*
Viel Spaß
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Hallo,
mein Versuch zu dieser netten Aufgabe:
Also wir haben folgende Gleichung:
I: [mm] x^2+\wurzel{x}=84 \gdw [/mm] II: [mm] x^2=84-\wurzel{x}
[/mm]
[mm] I:(x^2+\wurzel{x})^2=7056 \gdw [/mm] II: [mm] x^4=(84-\wurzel{x})^2
[/mm]
I: [mm] x^4+2*x^\bruch{5}{2}+x=7056 \gwd [/mm] II: [mm] x^4=7056-168*\wurzel{x}+x
[/mm]
[mm] I:2*x^\bruch{5}{2}+x=7056-x^4 \gdw [/mm] II: [mm] 168*\wurzel{x}-x=7056-x^4
[/mm]
Damit diese Gleichungen äquivalent sind müsste doch aber gelten:
[mm] 2*x^\bruch{5}{2}+x=168*\wurzel{x}-x
[/mm]
[mm] \gdw x^\bruch{5}{2}=84*\wurzel{x}-x
[/mm]
[mm] \gdw (x^2-84)*\wurzel{x}=-x
[/mm]
[mm] \gdw x^2+x-84=0 [/mm] oder [mm] \wurzel{x}=-x [/mm] (nicht definiert)
[mm] \gdw x=\bruch{-1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+84} [/mm] oder [mm] x=\bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+84}
[/mm]
[mm] \gdw x=\bruch{-1+\wurzel{337}}{2} [/mm] oder [mm] x=\bruch{-1-\wurzel{337}}{2}
[/mm]
hmm.... komm irgendwie net auf 9
Wieso denn 2 Lösungen?
Wenn ich die I und II nicht gleichsetzen kann (da es ja ein und dieselbe Glechung sein sollte) wieso sind I und II unterschiedlich? Ist das Quadrieren hier keine äquivalente Umformung?
Liebe Grüße
Andreas
P.S.: Echt interessate Aufgabe
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Hi,
ein Schritt (die Zeile, in der "nicht definiert" steht) ist mir nicht klar.
Ich würde folgendermaßen vorgehen:
[mm] $$x^2+\sqrt{x}=84\qquad\gdw\qquad \sqrt{x}=84-x^2\qquad\gdw\qquad x=\left(84-x^2\right)^2\qquad\gdw\qquad x=7056-168x^2+x^4\qquad\gdw\qquad x^4-168x^2-x+7056=0$$
[/mm]
Jetzt liegt eine biquadratische Gleichung vor, die mithilfe von Cardano gelöst werden kann.
Das ergibt zwei komplexe und eine reelle, nämlich 9, Lösungen.
Grüße, Stefan.
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Hallo,
wegen dem x ist die doch nicht biquadratisch oder?
Gruß
Andreas
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Hallo Saskia,
was auf jeden Fall klappen sollte, ist, die Funktion [mm] f(x)=x^2+\sqrt{x}-84 [/mm] zu betrachten und deren Nullstelle(n) per Newtonverfahren näherungsweise zu bestimmen.
Aber es [mm] \bold{muss} [/mm] doch eine elegantere Möglichkeit geben ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
LG
schachuzipus
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Doch,
biquadratisch bedeutet, die Form
[mm] $$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$
[/mm]
zu haben. Dies ist hier der Fall.
Du meinst wahrscheinlich die Form
[mm] $$ax^4+bx^2+c=0$$
[/mm]
welche zwar 4. Grades ist, doch durch Substitution auf eine Gleichung 2. Grades zurückgeführt werden kann,
womit sie (eigentlich) quadratisch ist.
Grüße, Stefan.
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Ok!
Vielen Dank! Hatte das vergessen mt der Substitution.
Gruß
Andreas
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hi,
ich habs genauso gemacht wie stefan, d.h. wurzel isoliert und quadriert. Da ich nun noch kein Lösungsverfahren kenne, hab ichs mal ins CAS gehauen und das spuckt mir 9 aus.
Jetzt würde mich aber interessieren, wie man das nun "selber" macht =) !! Würdest du mir das bitte erklären bzw. kann mir jemand n Link geben wo ich mir das beibringen kann ?
Weil hier handelt es sich ja nicht um eine biquadratische gleichung der form
[mm] a*x^{4}+b*x^{2}=y
[/mm]
Da steckt ja noch ein "x" mit drin...
Wäre super wenn das jemand erklären könnte =P
Bis denne
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Schau mal hier:
![[]](/images/popup.gif) Gleichungen 4. Grades
Dort steht auch, das auch Gleichungen, die die höchste Potenz 4 haben und ein lineares Glied zum Beispiel
auch biquadratisch heißen. ;)
Schau mal unter Satz.
Stefan.
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hi,
da bin ich selber schon angekommen ^^. Wikipedia is schon toll...
Aber sieht mir recht kompliziert aus ...
Kommt das nur mir so vor oder ist das wirklich so ??^^
Bis denn
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Ja, diese Formel von Ferrari ist echt mal ätzend
Wenn man sich überlegt, dass [mm] f(x)=x^2+\sqrt{x}-84 [/mm] auf [mm] \IR^+ [/mm] stetig ist und dass $f(0)=-84$ und $f(10)>0$, so ex. [mm] x_0 \in [/mm] (0;10) mit [mm] f(x_0)=0
[/mm]
Ich denke, da ist man mit nem alten Newton schneller als mit nem Ferrari
Wer Lust hat, mag's probieren
LG
schachuzipus
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hi,
ich steig da nicht durch =(
Kann verstehen wenn keiner bock hat das zu erklären...Ich komm nicht ganz klar mit der Substitution, wenn [mm] x=u-\bruch{B}{4*A}, [/mm] was wird dann aus [mm] x^{4}?? [/mm] Außerdem ist B=0 d.h x=u..
Ich verpeils bestimmt gerade ganz fies... ABer helft mir bitte auf die Sprünge sonst kann ich nicht schlafen ^^ das geht mir nicht ausm kopf dann.
Gehört das eigentlich noch zur schulmathematik ??
Bis denne
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Hallo nochmal,
also das ist wohl kein Schulstoff - zumindest hatte ich das nicht
Den ersten Schritt [mm] x=u-\bruch{B}{4\cdot{}A} [/mm] kannste überspringen, denn B=0 (wir haben kein [mm] x^3)
[/mm]
Ich habs dann mal durchgerechnet und kam bis ganz kurz vor Schluss - da verließen sie ihn allerdings.
Habs dann mal mit dem Newtonverfahren probiert, das ging in 5 min, nach 3 Schritten war die Genauigkeit schon bei mehr als 13 Ziffern.
Viel Erfolg weiterhin mit dem Ferrari
N8 allerseits
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Mi 04.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Also als erster würde ich
[mm] y=x^2 [/mm] substituieren, dann reduziert sich die gleichung sofort zu
[mm] y^4+y-84 [/mm] = 0
und die ist nun mit Cardano leichter zu knacken.
Wenn man jedoch annimmt, es gibt eine ganzahlige Lösung, so muss dies 84 teilen
also 1,2,3,4,6,7,12,.....
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