Schmidt'sches Orthonormieren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen,
den Beweis zum Verfahren hab ich verstanden.
Ich habe ein Problem damit, mir Vorzustellen, was genau dabei passiert.
Das normieren ist kein Problem, aber das Orthogonalisieren.
Es heißt ja nach Induktion [mm] b_{k+1}=a_{k+1}-\summe_{i=1}^{k}e_i, [/mm] mit [mm] e_i [/mm] bereits orthonormierte Vektoren, [mm] b_{k+1} [/mm] der nächste orthogonalisierte Vektor und [mm] a_{k+1} [/mm] der zu orthonormierende Vektor.
Ist [mm] e_i [/mm] die Standartbasis, dann verstehe ich, das jeweils vom i-ten Eintrag in [mm] a_{k+1} [/mm] jeweis [mm] e_i [/mm] abgezogen wird.
Geometrisch soll das bedeuten, dass das Lot gefällt wird, aber iwie kann ich mir nicht so recht vorstellen, was das Skalarprodukt in diesem Fall genau macht.
Hat jemand für mich vllt eine schöne Erklärung? Es sind immer soche Beweise, inden am Anfang schon die Aussage steht, und im Beweis nur gezeigt wird, dass das auch stimmt, bei denen mich die eigentliche Idee dahinter sehr interessiert. Vllt weiß jemand ja, wie man auf diese Formel kommt, und nicht als Begründung hat: "weils eben geht".
Danke schonmal!
lg Kai
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Di 10.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> den Beweis zum Verfahren hab ich verstanden.
>
> Ich habe ein Problem damit, mir Vorzustellen, was genau
> dabei passiert.
>
> Das normieren ist kein Problem, aber das Orthogonalisieren.
>
> Es heißt ja nach Induktion
> [mm]b_{k+1}=a_{k+1}-\summe_{i=1}^{k}e_i,[/mm] mit [mm]e_i[/mm]
> bereits orthonormierte Vektoren, [mm]b_{k+1}[/mm] der nächste
> orthogonalisierte Vektor und [mm]a_{k+1}[/mm] der zu
> orthonormierende Vektor.
>
> Ist [mm]e_i[/mm] die Standartbasis, dann verstehe ich, das jeweils
> vom i-ten Eintrag in [mm]a_{k+1}[/mm] jeweis [mm]e_i[/mm]
> abgezogen wird.
>
> Geometrisch soll das bedeuten, dass das Lot gefällt wird,
> aber iwie kann ich mir nicht so recht vorstellen, was das
> Skalarprodukt in diesem Fall genau macht.
>
> Hat jemand für mich vllt eine schöne Erklärung? Es sind
> immer soche Beweise, inden am Anfang schon die Aussage
> steht, und im Beweis nur gezeigt wird, dass das auch
> stimmt, bei denen mich die eigentliche Idee dahinter sehr
> interessiert. Vllt weiß jemand ja, wie man auf diese Formel
> kommt, und nicht als Begründung hat: "weils eben geht".
> Danke schonmal!
naja, ich habe jetzt einfach mal nach ggf. interessanten Links gesucht:
[mm] $\bullet$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Link1
[mm] $\bullet$[/mm] Link2
schienen mir ziemlich passend, oder wenigstens etwas hilfreich, bzgl. Deiner Frage zu sein.
P.S.:
Es gibt hierbei zwei Stellen, wo das Skalarprodukt eine Rolle spielt:
1.) Die Norm wird vom Skalarprodukt induziert (erzeugt)
2.) Mithilfe des Skalarproduktes wird in einem mit einem Skalarprodukt versehenen Vektorraum überhaupt von erst von "lotrecht" bzw. orthogonal gesprochen
Das sind jedenfalls zwei technische Dinge, wo es eine Rolle spielt. Und eine weitere technische Sache ist eben, dass bei dieser Vorgehensweise im Wesentlichen die Eigenschaften eines Skalarproduktes ausgenutzt werden können. Aber das ist auch wieder eher eine technische Sache...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
