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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Schneidige Zahlen
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Schneidige Zahlen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:34 So 11.12.2005
Autor: Gwendi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe aus dem Landeswettbewerb 1992: Eine natürliche Zahl n>1 heißt schneidig, wenn sich ein gleichseitiges Dreieck in n (nicht notwendig gleich große) gleichseitige Dreiecke zerschneiden lässt. Gib alle schneidigen Zahlen an und weise für sie diese Eigenschaft nach. (Ein Nachweis, dass die anderen Zahlen nicht schneidig sind, wird nicht verlangt.)

        
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Schneidige Zahlen: Anfang
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Di 13.12.2005
Autor: leduart

Hallo
die erste sZ ist 1, die nächste Möglichkeit 4, und dann kann man jedes Teidreick wieder in 4 teilen, deshalb 1+n*3  nächste Möglichkeit 9, daraus 9+n*3, und 9+n*8.Und 1+n*8 usw.usw. jetzt muss man nur noch feststelle, wie sich die Mengen überlappen.
Gruss leduart

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Schneidige Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Di 13.12.2005
Autor: Gwendi

Sind 6, 7 und 8 nicht die ersten drei aufeinanderfolgenden sZ, mit denen man dann weiterrechnen sollte (immer plus 3, denn 6+3=9)?

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Schneidige Zahlen: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Di 20.12.2005
Autor: Brinki

Die 1 ist keine SZ (Definition SZ:  n>1)

Die erste ist die 4. Hierzu zerteilt man das Dreieck mit einer Parallelen zu einer Seite in ein (gleichseitiges) Dreieck und ein Trapez so, dass man das Trapez in 3 weitere gleichseitige Dreiecke teilen kann.  

Auch 6, 8, 10, usw. sind schneidige Zahlen.
Analog kann man die Parallele auch so zeichnen, dass das Trapez in 5 (7, 9 oder allg. 2k+1) gleichseitige Dreiecke zerlegbar ist.

Die ungeraden Zahlen >= 7 erreicht man indem man ein "inneres" Dreieck wieder in 4 Dreiecke zerlegt. So kommen zu SZ 4 drei weitere Dreiecke hinzu -  macht SZ 7. Analog macht 6+3 ->SZ 9. usw.

Damit sind die 4 und alle Zahlen größer gleich 6 schneidig.


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Schneidige Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 So 25.12.2005
Autor: Cool-Y

rein interessehalber: gibt es eigentlich auch einen beweis mit elementaren mitteln, dass 2, 3 und 5 nicht schneidig sind?

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Schneidige Zahlen: 2 und 3 sind nicht schneidig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Sa 31.12.2005
Autor: Brinki

Eine Fläche wird mit einer Linie in zwei Flächen zerlegt. Damit kann die
Zwei keine schneidige Zahl sein.
(denn dazu müsste man das gleichseitige Dreieck mit einer Linie in zwei gleichseitige Dreiecke zerlegen. Das geht nicht, denn entweder entsteht ein Dreieck und ein Viereck oder zwei Dreiecke, bei denen je eine Seite noch die Ausgangseite ist.)
Ähnlich lässt sich das auch für die 3 zeigen.
Bei der 5 wird man wohl die Winkel benutzen müssen. (drei  60°-Winkel ergeben zusammen 180°)


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