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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Schnitt Kern und Bild
Schnitt Kern und Bild < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Schnitt Kern und Bild: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Do 01.03.2012
Autor: Steffen2361

Aufgabe
Hi

Mein Aufgabe lautet:

Beweise oder widerlege folgende Aussage:

Für jede lineare Abbildung f: [mm] \IR^4 \rightarrow \IR^4 [/mm] gilt kern(f) [mm] \cap [/mm] Im(f) = [mm] \not0 [/mm]

Ich nehme an, dass die Aussage falsch ist und suche deshalb nach einem Gegebeispiel:

[mm] f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] ) = [mm] \vektor{x_1 - 1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm]

Wenn ich nun wende ich eine BAsis des Definitionsbereiches auf meine Abbildungsvorschrift an:

[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]  

[mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ) = [mm] \vektor{-1 \\1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

[mm] f(\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0} [/mm] ) = [mm] \vektor{-1 \\0 \\ 1 \\ 0} [/mm]

[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ) = [mm] \vektor{-1 \\0 \\ 0 \\ 1} [/mm]


Nun besteht der Kern doch aus meinem ersten Basisvektor und Das Bild aus den restlichen Dreien. Damit meine ich, dim(kern(f)) =1 und dim(Im(f))= 3

Somit ist der Schnitt niemals die leere Menge.

Was sagt ihr dazu?

danke :)


        
Bezug
Schnitt Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Do 01.03.2012
Autor: fred97


> Hi
>  
> Mein Aufgabe lautet:
>  
> Beweise oder widerlege folgende Aussage:
>  
> Für jede lineare Abbildung f: [mm]\IR^4 \rightarrow \IR^4[/mm] gilt
> kern(f) [mm]\cap[/mm] Im(f) = [mm]\not0[/mm]

Steht da wirklich rechts die leere Menge, also

kern(f) [mm]\cap[/mm] Im(f) = [mm] \emptyset [/mm]

Wenn ja, so ist diese Aussage immer falsch, denn der Schnitt von 2 Unterräumen eines Vektorraumes enthält immer   was ???

?
            

>  Ich nehme an, dass die Aussage falsch ist und suche
> deshalb nach einem Gegebeispiel:
>  
> [mm]f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] ) = [mm]\vektor{x_1 - 1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]

Diese Abbildung ist nicht linear ! Denn

$ [mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ )  [mm] \ne [/mm] $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $  

FRED


>
> Wenn ich nun wende ich eine BAsis des Definitionsbereiches
> auf meine Abbildungsvorschrift an:
>  
> [mm]f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ) = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]  
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ) = [mm]\vektor{-1 \\1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0\\ 1 \\ 0}[/mm] ) = [mm]\vektor{-1 \\0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ) = [mm]\vektor{-1 \\0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
>
> Nun besteht der Kern doch aus meinem ersten Basisvektor und
> Das Bild aus den restlichen Dreien. Damit meine ich,
> dim(kern(f)) =1 und dim(Im(f))= 3
>  
> Somit ist der Schnitt niemals die leere Menge.
>  
> Was sagt ihr dazu?
>  
> danke :)
>  


Bezug
                
Bezug
Schnitt Kern und Bild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Do 01.03.2012
Autor: Steffen2361


> > Hi
>  >  
> > Mein Aufgabe lautet:
>  >  
> > Beweise oder widerlege folgende Aussage:
>  >  
> > Für jede lineare Abbildung f: [mm]\IR^4 \rightarrow \IR^4[/mm] gilt
> > kern(f) [mm]\cap[/mm] Im(f) = [mm]\not0[/mm]
>  
> Steht da wirklich rechts die leere Menge, also
>  
> kern(f) [mm]\cap[/mm] Im(f) = [mm]\emptyset[/mm]

Ja steht exakt so in meiner Angabe

>  
> Wenn ja, so ist diese Aussage immer falsch, denn der
> Schnitt von 2 Unterräumen eines Vektorraumes enthält
> immer   was ???

Zumindest die 0 (sonst wäre er kein Untervektorraum), also nicht leer :)

>  
> ?
>              
> >  Ich nehme an, dass die Aussage falsch ist und suche

> > deshalb nach einem Gegebeispiel:
>  >  
> > [mm]f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] ) = [mm]\vektor{x_1 - 1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
>
> Diese Abbildung ist nicht linear ! Denn
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] )  [mm]\ne[/mm]  [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
>

Alles klar, das war mein Denkfehler

> FRED

Bezug
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