Schnitt Kugel mit Zylinder < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K der folgende Schnitt der Einkeitskugel mit einem Zylinder
[mm] K=\{(x,y,z)\in \IR^3| x^2+y^2+z^2\le1, x^2+y^2\le\bruch{1}{2}\}.
[/mm]
Berechne
[mm] \integral_{K}{|y|d(x,y,z)}.
[/mm]
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Hallöchen..
Ich bräuchte mal wieder ertwa Hilfe.. Ich sitz gerad an der Klausurvobereitung. Hatte mich eigentlich schon ganz sicher gefühlt, nun rechne ich ein paar alte Klausuraufgaben und dann kommt sowas!
Ich weiß irgendwie überhaupt nicht, wie ich das parametrisieren soll. Ich muss es doch parametrisieren, oder?
Hatte schon überlegt, den Zylinder zu berechnen, und dann einfach zwei Kugelstücke oben und unten dran zu machen. Bloß da kann ich ja allenfalls das Volumen ausrechnen, aber ich soll ja auch noch eine Funktion über das Volumen integrieren. Da komme ich doch um eine geeignete Parametrisierung nicht drum rum, oder?
Es währe sehr super, wenn mir jemand helfen könnte!!
1000Dank schonmal.
Liebe Grüße
Superhaufen.
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Hallo Superhaufen,
> Sei K der folgende Schnitt der Einkeitskugel mit einem
> Zylinder
> [mm]K=\{(x,y,z)\in \IR^3| x^2+y^2+z^2\le1, x^2+y^2\le\bruch{1}{2}\}.[/mm]
>
> Berechne
> [mm]\integral_{K}{|y|d(x,y,z)}.[/mm]
Soll das [mm]\integral_{K}{|y| \ dz \ dy \ dx}[/mm] heißen?
>
> Hallöchen..
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> Ich bräuchte mal wieder ertwa Hilfe.. Ich sitz gerad an der
> Klausurvobereitung. Hatte mich eigentlich schon ganz sicher
> gefühlt, nun rechne ich ein paar alte Klausuraufgaben und
> dann kommt sowas!
>
> Ich weiß irgendwie überhaupt nicht, wie ich das
> parametrisieren soll. Ich muss es doch parametrisieren,
> oder?
Schau Dir mal die begrenzenden Flächen etwas genauer an.
>
> Hatte schon überlegt, den Zylinder zu berechnen, und dann
> einfach zwei Kugelstücke oben und unten dran zu machen.
> Bloß da kann ich ja allenfalls das Volumen ausrechnen, aber
> ich soll ja auch noch eine Funktion über das Volumen
> integrieren. Da komme ich doch um eine geeignete
> Parametrisierung nicht drum rum, oder?
>
> Es währe sehr super, wenn mir jemand helfen könnte!!
> 1000Dank schonmal.
Zunächst einmal mußt Du die Grenzen für x,y, z festlegen.
Sind die Grenzen so festgelegt:
[mm]a \le x \le b[/mm]
[mm]f_{1}\left(x\right) \le y \le f_{2}\left(x\right)[/mm]
[mm]g_{1}\left(x,y\right) \le t \le g_{2}\left(x,y\right)[/mm]
So lautet das Integral:
[mm]\integral_{a}^{b}{\integral_{f_1\left(x\right)}^{f_{2}\left(x,y\right}{\integral_{g_1\left(x,y\right)}^{g_{2}\left(x,y\right)}{\vmat {y}\ dz} \ dy} \ dx}[/mm]
>
> Liebe Grüße
> Superhaufen.
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower.
Wow, dass ging schnell..
Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste das Integral so aussehen?:
[mm] \integral_{0}^{1/2}{\integral_{0}^{\wurzel{0,5-x^2}}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{|y| dz} dy} dx} [/mm] und das ganze mal 8 weil ich nur einen Oktanten berechnet habe?
Ich hoffe, das ist einigermaßen richtig.. :)
Vielen Dank & liebe Grüße.
Superhaufen.
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Hallo Superhaufen,
> Hallo MathePower.
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> Wow, dass ging schnell..
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste das Integral
> so aussehen?:
>
> [mm]\integral_{0}^{1/2}{\integral_{0}^{\wurzel{0,5-x^2}}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{|y| dz} dy} dx}[/mm]
> und das ganze mal 8 weil ich nur einen Oktanten berechnet
> habe?
Ja.
>
> Ich hoffe, das ist einigermaßen richtig.. :)
Das ist sogar sehr richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank & liebe Grüße.
> Superhaufen.
>
>
Gruß
MathePower
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Yuhu, Danke nochmal! :)
LG
Superhaufen
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Eine kleine Frage hab ich doch noch:
Kann ich das Integral irgendwie einfacher in Kugel- oder Zylinderkoordinaten ausdrücken?
Ich finde, das zu lösen doch recht schwierig..
[mm] \integral_{0}^{1/2}{\integral_{0}^{\wurzel{0,5-x^2}}{\wurzel{1-x^2-y^2}|y| dy} dx}
[/mm]
Oder gibt es da einen einfachen Trick den ich nicht sehe?
Das ist ja eine Klausuraufgabe, kann mir eigentlich nicht so richtig Vorstellen, dass unser Prof. da so schwere Integale dran nimmt... zumindestens hatte ich das gehofft! ;)
LG
Superhaufen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Sa 15.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
für di y- Integration: [mm] 1-x^2=a
[/mm]
bleibt [mm] y*\wurzel{a-y^2} [/mm] sieh dir mal die Ableitung von [mm] (a-y^2)^{3/2} [/mm] an!
Gruss leduart
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Ich hoffe, ich falle niemanden auf den Wecker, aber ich muss da nochmal nachfragen. Ich will diese Aufgabe zu 100% verstehen!
Schaut Euch bitte nochmal das Integral an:
[mm] \integral_{0}^{1/2}{\integral_{0}^{\wurzel{0,5-x^2}}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{|y| dz} dy} dx}
[/mm]
Ich hatte die Grenze des ersten Integrals von 0 bis 0,5 gewählt, da ich dachte der Bereich wäre in x Richtung durch den Radius des Zylinders begrenzt.
Der Zylinder in der Aufgabe war ja:
[mm] x^2+y^2\le0,5
[/mm]
Mir fällt jetzt aber auf: Die Grudformel des Zylinders sieht ja so aus:
[mm] x^2+y^2\le R^2
[/mm]
Somit wäre der Radius in diesem Fall [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}??
[/mm]
Also das gesammte Integral:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{\wurzel{2}}}{\integral_{0}^{\wurzel{0,5-x^2}}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{|y| dz} dy} dx}
[/mm]
Wäre super, wenn mir das nochmal jemand näher bringen kann..
Vielen Dank!
LG
Superhaufen
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Hallo Superhaufen,
> Ich hoffe, ich falle niemanden auf den Wecker, aber ich
> muss da nochmal nachfragen. Ich will diese Aufgabe zu 100%
> verstehen!
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> Schaut Euch bitte nochmal das Integral an:
>
>
[mm]\integral_{0}^{1/2}{\integral_{0}^{\wurzel{0,5-x^2}}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{|y| dz} dy} dx}[/mm]
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> Ich hatte die Grenze des ersten Integrals von 0 bis 0,5
> gewählt, da ich dachte der Bereich wäre in x Richtung durch
> den Radius des Zylinders begrenzt.
>
> Der Zylinder in der Aufgabe war ja:
> [mm]x^2+y^2\le0,5[/mm]
>
> Mir fällt jetzt aber auf: Die Grudformel des Zylinders
> sieht ja so aus:
> [mm]x^2+y^2\le R^2[/mm]
>
> Somit wäre der Radius in diesem Fall
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}??[/mm]
>
> Also das gesammte Integral:
>
>
>[mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{\wurzel{2}}}{\integral_{0}^{\wurzel{0,5-x^2}}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{|y| dz} dy} dx}[/mm]
>
> Wäre super, wenn mir das nochmal jemand näher bringen
> kann..
Wir haben also
[mm] K=\{(x,y,z)\in \IR^3| x^2+y^2+z^2\le1, x^2+y^2\le\bruch{1}{2}\}[/mm]
Aus [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 1 \Rightarrow z \le \wurzel{1 - x^{2}-y^{2}} [/mm]
Aus [mm]x^{2}+y^{2} \le \bruch{1}{2} \Rightarrow y \le \wurzel{ \bruch{1}{2}-x^{2}}[/mm]
Da die Wurzel nur definiert ist, wenn der Radikand größer oder gleich Null ist, gilt:
[mm]\bruch {1}{2}-x^{2} \ge 0 \Rightarrow x^{2} \le \bruch{1}{2} \gdw x \le \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Streng genommen ist, da [mm]\pmat{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}[/mm]:
Aus [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 1 \Rightarrow -\wurzel{1 - x^{2}-y^{2}} \le z \le \wurzel{1 - x^{2}-y^{2}} [/mm]
Aus [mm]x^{2}+y^{2} \le \bruch{1}{2} -\wurzel{ \bruch{1}{2}-x^{2}}\Rightarrow -\wurzel{ \bruch{1}{2}-x^{2}} \le y \le \wurzel{ \bruch{1}{2}-x^{2}}[/mm]
Sowie
[mm]\bruch {1}{2}-x^{2} \ge 0 \Rightarrow x^{2} \le \bruch{1}{2} \gdw -\bruch{1}{\wurzel{2}} \le x \le \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Demnach ist eigentlich
[mm]\integral_{-\bruch{1}{\wurzel{2}}}^{\bruch{1}{\wurzel{2}}}{\integral_{-\wurzel{\bruch{1}{2}-x^2}}^{\wurzel{\bruch{1}{2}-x^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-y^2}}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{|y| \ dz}\ dy}\ dx}[/mm]
zu berechnen.
Aber es gilt, da die Integationsgrenzen symmetrisch sind:
[mm]\integral_{-\bruch{1}{\wurzel{2}}}^{\bruch{1}{\wurzel{2}}}{\integral_{-\wurzel{\bruch{1}{2}-x^2}}^{\wurzel{\bruch{1}{2}-x^2}}{\integral_{-\wurzel{1-x^2-y^2}}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{|y| \ dz} \ dy} \ dx}= 8*\integral_{0}^{\bruch{1}{\wurzel{2}}}{\integral_{0}^{\wurzel{0,5-x^2}}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2-y^2}}{|y| \ dz} \ dy} \ dx} [/mm]
>
> Vielen Dank!
> LG
> Superhaufen
>
>
Gruß
MathePower
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Wow, Mathepower.. Ich bin absolut begeistert!
Ich habs jetzt verstanden.
Vielen, vielen Dank für Deine Mühe!
Liebe Grüße
Superhaufen.
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