Schnitt von Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Do 11.11.2004 | | Autor: | snibbe |
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Aufgabe:
Für welche Werte der Variablen a,b,c in den Gleichungen der Geraden g und h gilt
(1) g ist parallel zu h
(2) g=h
(3) g schneidet h ?
Gegeben:
g: [mm] \vec x [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ b \end{pmatrix} [/mm]
h: [mm] \vec x [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ c \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm]
Das wars.
Nun habe ich dann auch angefangen und hab die beiden Gleichungen gleichgesetzt. Danach hatte ich dann 2 verschiedene Gleichungen.
Einmal:
2r - 3s = 1-a
und dann noch:
br - 5s = c
Nun weiß ich jedoch leider nicht wie ich weiter machen soll.
Ich weiß zwar das ich prüfen muss ob r und s linear abhängig bzw. unabhängig sind um dann weiterzurechnen. Allerdings stören mich dabei die Variablen.
Ich danke schon mal im voraus.
sniBBe
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Schon direkt gleichsetzen würd ich's nicht; trenn die einzelnen Aufgaben (parallel, identisch, Schnitt) lieber voneinander.
Im [mm] \IR^2 [/mm] gibt's ja nur die 3 Möglichkeiten, wie Geraden zueinander liegen können.
Im 1. Fall betrachten wir einfach die Möglichkeiten, dass g und h parallel bzw. identisch sind. Die beiden Fälle kann man gut zusammenfassen, da die Richtungsvektoren beide Male linear abhängig sind.
Das führt auf folgenden Zusammenhang:
damit die Richtungsvektoren lin. abh. sind, muss ja gelten:
[mm]\vektor{2 \\ b}=k*\vektor{3 \\ 5}[/mm]
Aus der 1. Zeile folgt, dass [mm]k=\bruch{3}{2}[/mm] sein muss, und das in die 2. Zeile eingesetzt ergibt [mm]b=\bruch{10}{3}[/mm]
Also: für diesen Wert von b sind die Geraden entweder parallel, oder identisch. Diese beiden Fälle gilt es noch zu trennen.
Wenn die Geraden identisch sind, dann liegt doch jeder Punkt von g auf h, und umgekehrt. Wir können also a und c zu bestimmen, dass der Stützvektor von g auf h liegt (und somit jeder Punkt von g auf h):
[mm]\vektor{a \\ 0}=\vektor{1 \\ c}+s*\vektor{3 \\ 5}[/mm]
Die Umformungen überlass ich mal dir 
Es ergeben sich 2 Gleichungen für s; beide Ausdrücke müssen gleich sein, damit g und h identisch sind. Ich habe den Zusammenhang
[mm]5a+3c=5[/mm] für den Fall "identisch" erhalten.
Und somit sind die beiden Geraden parallel, wenn zwar immernoch das [mm]b=\bruch{10}{3}[/mm] gilt, aber der Zusammenhang [mm]5a+3c=5[/mm] nicht mehr [mm] \to [/mm] ist ja auch logisch, zu einer Geraden gibt es unendlich viele parallele Geraden, aber nur eine dazu identische.
Fehlt noch der 2. Fall: wann schneiden die Geraden sich? Wir wissen: Geraden können identisch, parallel, oder mit Schnittpunkt sein. Die Fälle "identisch" und "parallel" haben wir schon aus der linearen Abhängigkeit der Richtungsvektoren erhalten (also dann, wenn die Steigungen = Richtungsvektoren parallel sind). In allen anderen Fällen, wenn sie nicht parallel sind, schneiden sie sich. Und dafür (für die lin. Abhängigkeit) war ja unser b zuständig.
Das heißt: für [mm]b\not=\bruch{10}{3}[/mm] besitzen die Geraden einen Schnittpunkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Do 11.11.2004 | | Autor: | snibbe |
Hallo,
erstmal danke für die schnelle Antwort. Konnte alles gut nachvollziehen und hab mich auch gleich ran gesezt und alles nachgerechnet. Habe aber noch einige Fragen.
Zum 1. Fall:
1.
[mm] $ \vektor{2 \\ b}=k\cdot{}\vektor{3 \\ 5} $ [/mm]
Wieso muss ich nur, um die lineare Abhängigkeit zu zeigen, dies gleichsetzen und nicht:
[mm] $ r\cdot{}\vektor{2 \\ b} = s\cdot{}\vektor{3 \\ 5} $ [/mm]
Wir haben nämlich im Unterricht bis jetzt immer Gleichungen aufgestellt und diese dann in einem Gleichungssystem gelöst.
So hat man dann für die verschiedenen Skalare einen Wert bekommen und konnte sehen, ob lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit vorhanden ist.
Ansonsten hab ich für [mm] k =\bruch{2}{3} [/mm] heraus. Denke das hast du nur falsch eingetippt :) b habe ich dann genauso.
2.
5a+3c=5 habe ich auch heraus bekommen. Aber kann man hier nicht Werte für a und c festlegen?
Ich könnte ja sonst theoretisch beliebige Zahlen für a und c verwenden, muss aber darauf achten das dann am Ende auch 5=5 heraus kommt.
Und damit hätte ich dann ja mehr als eine Lösung dafür, dass die beiden Geraden identisch sind.
Zum 2. Fall:
Ist es hier egal welche Wete man für a und c nimmt?
Also reicht alleine die Tatsache, dass b ungleich 10/3 sein muss, aus damit sich die Geraden schneiden?
Nochmals danke
sniBBe
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Zu der Frage, warum die Parameter der Richtungsvektoren nicht "mitgenommen" werden: die Parameter selber haben mit der Richtung eigentlich nix zu tun, sie "strecken" die Gerade nur vom Punkt des Stützvektors aus in beide Richtungen unendlich weit, und zwar in Richung des Vektors selber. Vergleich's mit der Geradengleichung 'wie früher': [mm]y=m*x+c[/mm]. Das m gibt die Richtung vor (wie der Richtungsvektor), und das x "zieht" die Gerade gewissermassen in die Länge, wenn es alle Werte aus [mm]\IR[/mm] durchläuft - genau wie der Parameter des Richungsvektors.
Andere Verfahren, wie Gleichungssystem aufstellen, eignen sich vor allem dann gut, wenn man die kompletten Geraden gegeben hat. Aber hier fehlt ja die Hälfte. Und diese Hälfte muss man erst bestimmen. Und das macht man am besten systematisch, dass man zuerst über die Richungsvektoren eingrenzen kann (lin. abh -> parallel oder identisch, lin. unabh. -> Schnittpunkt).
Verdammt, hatte mich nicht verschrieben. Hatte nur auf meiner schriftlichen Bearbeitung das k auf die andere Seite gesetzt, und deswegen den Kehrwert rausbekommen... ähem.
Für die Unterscheidung "parallel oder identisch": [mm]5a+3c=5[/mm] sagt tatsächlich, dass man unendlich viele Kombinationsmöglichkeiten hat, um die Geraden identisch zu machen - Hauptsache, die obige Gleichung ist erfüllt.
Und ebenfalls unendlich viele Kombinationsmöglichkeiten für "parallel" - nämlich immer dann, wenn [mm]5a+3c\not=5[/mm]
Für den Schnittpunkt-Fall: ja, a und c sind egal. Ist so: in 2 Dimensionen gibt es nur 3 Möglichkeiten, wie Geraden zueinander stehen können - parallel, identisch, Schnittpunkt. Und da die ersten beiden Möglichkeiten die lineare Abh. der Richtungsvektoren brauchen, ist in allen anderen Fällen die 3. Möglichkeit am Zug - der Schnittpunkt.
In 3 Dimensionen gibt's noch nen 4. Fall für die Lage zweier Geraden: wenn sie "hintereinander vorbeilaufen", ohne parallel zu sein. "Windschief" nennt es sich dann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Fr 12.11.2004 | | Autor: | snibbe |
Ok, habe nun endgültig alles verstanden 
Vielen Dank nochmal
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