Schnitt zweier Teilräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Finden Sie den Schnitt der folgenden beiden Teilräume U und W des [mm] \IR^{3} [/mm] über [mm] \IR:
[/mm]
[mm] U=\{\vektor{x \\y \\z} | x - y + z = 0\}, W=\{\vektor{x \\y \\ z} | 2x + y - z = 0\} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie den Teilraum des Vektorraums [mm] \IC^{3} [/mm] über [mm] \IC, [/mm] der von den Vektoren [mm] v_{1}=\vektor{1 \\0 \\-1},v_{2}=\vektor{0 \\1 \\1},v_{3}=\vektor{1 \\1 \\0} [/mm] aufgespannt wird. (D.h. finden Sie [mm] [v_{1},v_{2},v_{3}]) [/mm] |
Hallo!
Zu 1) Wie mach ich das? Ich bin verzweifelt... Irgendwie ham wirs auf der Uni über die Normalvektoren gerechnet - das wär dann [mm] \vektor{1\\-1\\1} \times \vektor{2\\1\\-1}=\vektor{0\\3\\3}. [/mm] Also wäre der Schnitt [mm] U\cap W=\{\lambda \vektor{0\\3\\3}|\forall \lambda \in \IR\}
[/mm]
Wenn ich aber die beiden Gleichungen gleichsetze,komm ich zu einem anderen Ergebnis... Wie geht das nun?
Zu 2) Was ist da zu machen? Ich kann nur aufschreiben v = [mm] \alpha_{1} v_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} v_{2} [/mm] + [mm] \alpha_{3} v_{3}. [/mm] Und jez? Was fange ich mit dieser Info an???
Vielen Dank im Vorraus!
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Übersetzung: Schneide zwei Ebenen.
(zu Aufgabe 2: Dir ist sicher aufgefallen, dass die Vektoren keine Imaginäranteile haben...)
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Okay, also die Ebenengleichungen gleichsetzen... dann bekomm ich wieder eine Ebene...
zu 2) Ja is mir,nur hilft mir das trotzdem nicht... was oder wie muss ich da rechnen? In den Beispielen,die wir hatten, war die Lösung gegeben und nur zu bestätigen...Mir is aber nicht klar,was ich da zeigen oder berechnen soll... Soll das ganze dann den Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] ergeben oder wie???
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Wenn Du herausfinden willst, welche Punkte zwei Ebenen gemeinsam haben, dann gibt es nicht viele mögliche Ergebnisse:
a) eine Gerade
b) keinen Punkt
c) alle Punkte: die Ebenen sind identisch
- und zum andern Teil, dem Komplexen:
hast Du die Vektoren schon auf lineare Unabhängigkeit geprüft?
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Okay,irgendwie bin ich grad voll daneben... Die Ebenen haben eine Schnittgerade.. die ermittel ich,wenn ich die Gleichungen gleichsetz und dann auf = 0 bringe oder???
zu 2) Das kommt erst später... Das hatten wir bei den Beispielen noch nicht gemacht... Wie gesagt, es war eine Lösung gegeben und die sollten wir beweisen...Ich kapier das überhaupt net,was da auf einmal zu tun ist...
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Ja, die Ebenen haben eine Schnittgerade. Übrigens beinhalten beide Ebenen den Nullpunkt, das wird später nützlich sein, wenn auch nicht nötig.
Wenn Du die Ebenengleichungen gleichsetzt, bekommst Du wieder eine lineare Gleichung in x,y,z und somit nur eine Ebene. Ich würde Dir empfehlen, vektoriell zu rechnen und den Richtungsvektor aus den leicht abzulesenden Normalenvektoren (unnormiert) der beiden Ebenen zu bestimmen. Einen Auf- oder Stützpunkt der Geraden hast Du ja schon.
In der zweiten Aufgabe wirst Du feststellen, dass keine zwei der drei Vektoren kollinear sind, aber andererseits eine einfache lineare Abhängigkeit besteht. Du kannst, sobald du das alles überprüft und nachgewiesen hast, zwei beliebige der Vektoren als Basis Deines Unterraums nehmen, der dementsprechend "nur" eine Ebene ist , die ganz im Reellen liegt s.u.. Diese ist wahrscheinlich am besten in Koordinatenform darstellbar. Dann musst Du Dich nur noch fragen, ob in dieser Koordinatenform nicht etwa gar nicht beabsichtigte komplexe "Punkte" mit beheimatet sind. Wenn doch: dürfen sie das sein? Wenn nein: wie kann man sie ausschließen?
edit:
Zwar sind die Vektoren rein reell, der von ihnen aufgespannte Unterraum aber nicht notwendig. Ich habe einen Denkfehler begangen; siehe Marcels späteren Einwand!
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Okay,jetzt bin ich komplett verwirrt... Kenn mich gar nimma aus... Muss mir das nochmal durchschauen und durchdenken...
Danke trotzdem!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Di 02.12.2008 | | Autor: | reverend |
Gut, das warte ich mal ab...
Gute Nacht!
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:30 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In der zweiten Aufgabe wirst Du feststellen, dass keine
> zwei der drei Vektoren kollinear sind, aber andererseits
> eine einfache lineare Abhängigkeit besteht. Du kannst,
> sobald du das alles überprüft und nachgewiesen hast, zwei
> beliebige der Vektoren als Basis Deines Unterraums nehmen,
> der dementsprechend "nur" eine Ebene ist, die ganz im
> Reellen liegt.
das verstehe ich auch nicht. Der Ursprungsraum ist als [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] angegeben, wieso sollte das jetzt nur reell sein? Eine komplexe Zahl multipliziert mit einem Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] ergibt einen Vektor des [mm] $\IC^3$.
[/mm]
> Diese ist wahrscheinlich am besten in
> Koordinatenform darstellbar. Dann musst Du Dich nur noch
> fragen, ob in dieser Koordinatenform nicht etwa gar nicht
> beabsichtigte komplexe "Punkte" mit beheimatet sind. Wenn
> doch: dürfen sie das sein? Wenn nein: wie kann man sie
> ausschließen?
S.o.: Alle Räume sind [mm] $\IC$-Vektorräume, [/mm] wie kommst Du auf die Idee, dass da ein reeller Unterraum entsteht? Es ist ja schon
[mm] $$(1+i)*\vektor{1\\1\\0}=\vektor{1+i\\1+i\\0} \notin \IR^3\,.$$
[/mm]
Ich nehme an, Du hattest irgendwie gedacht, dass es sich bei der zweiten Aufgabe auch um [mm] $\IR$-Vektorräume [/mm] handelt (also überlesen, dass es da um [mm] $\IC$-VRe [/mm] geht)?
Gruß,
Marcel
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Hmm. Du hast Recht, ich habe nicht an die gewöhnliche skalare Multiplikation gedacht, sondern bin dem Wort "aufgespannt" auf den Leim gegangen.
Danke für die Korrektur.
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Okay,hab mir das nochmal durchgesehen... Ist bei 2) zu zeigen,dass ganz [mm] \IC^{3} [/mm] erzeugt wird und ich somit
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}
[/mm]
setzen muss und mir [mm] \alpha_{1},\alpha_{2} [/mm] und [mm] \alpha_{3} [/mm] ausrechnen muss?
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Nein, trotz Marcels berechtigtem Einwand wird immer noch nicht der ganze [mm] \IC^3 [/mm] aufgespannt, da die drei Vektoren einfach linear abhängig sind. Es kann sich also nur um einen zweidimensionalen Unterraum handeln.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay,hab mir das nochmal durchgesehen... Ist bei 2) zu
> zeigen,dass ganz [mm]\IC^{3}[/mm] erzeugt wird und ich somit
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}[/mm]
> setzen muss und mir [mm]\alpha_{1},\alpha_{2}[/mm] und [mm]\alpha_{3}[/mm]
> ausrechnen muss?
nur, damit das nicht untergeht:
Bei der zweiten Aufgabe haben wir einen zweidimensionalen [mm] $\IC$-Unterraum. [/mm] Es wird Dir nicht gelingen zu jedem Vektor [mm] $\vec{v}:=\vektor{x\\y\\z} \in \IC^3$ [/mm] dann [mm] $\alpha_j=\alpha_j(\vec{v}) \in \IC$ [/mm] ($j=1,2,3$) so zu finden, dass sich
[mm] $$\vec{v}=\vektor{x\\y\\z}=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}$$
[/mm]
schreiben läßt.
Dort war $ [mm] v_{1}=\vektor{1 \\0 \\-1},v_{2}=\vektor{0 \\1 \\1},v_{3}=\vektor{1 \\1 \\0}$.
[/mm]
Berechne einfach mal [mm] $v_3-v_2$. [/mm] Was erkennst Du? Was bedeutet das für die Wahl einer Basis des Linearen Spans von [mm] $v_1,v_2,v_3$?
[/mm]
Sind [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] linear abhängig? Oder bilden sie vll. eine Basis des Spans?
Gruß,
Marcel
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> Finden Sie den Schnitt der folgenden beiden Teilräume U und
> W des [mm]\IR^{3}[/mm] über [mm]\IR:[/mm]
> [mm]U=\{\vektor{x \\y \\z} | x - y + z = 0\}, W=\{\vektor{x \\y \\ z} | 2x + y - z = 0\}[/mm]
>
> Bestimmen Sie den Teilraum des Vektorraums [mm]\IC^{3}[/mm] über
> [mm]\IC,[/mm] der von den Vektoren [mm]v_{1}=\vektor{1 \\0 \\-1},v_{2}=\vektor{0 \\1 \\1},v_{3}=\vektor{1 \\1 \\0}[/mm]
> aufgespannt wird. (D.h. finden Sie [mm][v_{1},v_{2},v_{3}])[/mm]
> Hallo!
>
> Zu 1) Wie mach ich das? Ich bin verzweifelt... Irgendwie
> ham wirs auf der Uni über die Normalvektoren gerechnet -
> das wär dann [mm]\vektor{1\\-1\\1} \times \vektor{2\\1\\-1}=\vektor{0\\3\\3}.[/mm]
> Also wäre der Schnitt [mm]U\cap W=\{\lambda \vektor{0\\3\\3}|\forall \lambda \in \IR\}[/mm]
Hallo,
Dein Ergebnis, welches Du mithilfe der Normalenvektoren errechnet hast, ist ja völlig richtig.
Möchtest Du es über die Gleichungen errechnen, so ist das homogene lineare Gleichungssystem
x - y + z = 0
2x + y - z = 0
zu lösen.
Der Gedanke: im Schnitt liegen die Vektoren, die sowohl Lösung der einen als auch der anderen Gleichung sind.
Man muß (!) hier also nicht unbedingt geometrisch denken.
> Wenn ich aber die beiden Gleichungen gleichsetze,komm ich
> zu einem anderen Ergebnis... Wie geht das nun?
Wie gesagt: nicht gleichsetzen, sondern obiges System lösen mit einer der Methoden, die Du kannst.
Falls Ihr den Gaußalgorithmus hattet: üben und können...
> Zu 2)
Ob hier der VR [mm] \IC^3 [/mm] über [mm] \IC [/mm] oder [mm] \IR^3 [/mm] über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IQ^3 [/mm] über [mm] \IQ [/mm] betrachtet wird, ist für die Vorgehensweise völlig unerheblich, sind doch alle drei VRe der Dimension 3.
> Was ist da zu machen? Ich kann nur aufschreiben v =
> [mm]\alpha_{1} v_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} v_{2}[/mm] + [mm]\alpha_{3} v_{3}.[/mm]
mit [mm] a_1, a_2, a_3\in \IC.
[/mm]
Ja. So sehen die Elemente aus, die im Span dieser drei Vektoren liegen, und wenn Du schreiben würdest [mm] Span(v_1, v_2, v_3)=\{\alpha_{1} v_{1} + \alpha_{2} v_{2} + \alpha_{3} v_{3} |a_1, a_2, a_3\in \IC\}, [/mm] so wäre das keinesfalls verkehrt - wenn es auch vermutlich nicht ganz das Gewünschte ist.
Warum ist es vermutlich nicht das Gewünschte? Wir wissen nicht, welche Dimension dieser Unterraum hat. Ist es der ganze Raum, also dim 3? Ein 1- oder 2-dimensionaler Unterraum?
Dies will man bei Untervektorräumen wissen, und deshalb laufen diese Span-Aufgaben i.d.R. darauf hinaus, daß man eine Basis angeben soll.
Ein Erzeugendensystem von [mm] Span(v_1, v_2, v_3) [/mm] kennst Du bereits: die drei Vektoren.
Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis, und diese muß Du herausfinden.
Dazu mußt Du klären: sind [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear unabhängig? Wenn ja, sind sie eine Basis des Spans.
Wenn nein, so mußt Du aus den drei Vektoren eine größtmögliche linear unabhängige Teilmenge herausfischen. Hier, in Deiner Aufgabe, besteht sie aus zwei Vektoren.
Dann kannst Du sagen: diese beiden Vektoren sind eine Basis von [mm] Span(v_1, v_2, v_3), [/mm] also ist [mm] Span(v_1, v_2, v_3)=Span(die [/mm] beiden Vektoren)= .... Hier schreibst Du die Menge als Linearkombinationen der Basisvektoren in einer Form, die bei Euch üblich ist.
Gruß v. Angela
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