Schnitt zweier Vektorräume < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 So 24.03.2013 | | Autor: | Makito |
| Aufgabe | Sei [mm] U=({\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}} \in \IR^{5}|x_{1} + x_{2} = x_{3} + x_{4} + x_{5}}) [/mm] und a= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , b= [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] und c= [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 3 } [/mm] , sowie V= [mm] \subseteq \IR^{5} [/mm] (lineare Hülle).
Berechnen Sie die Dimension des Schnitts von U und V.
[mm] dim_{\IR} [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V) |
Nabend,
blicke leider nicht ganz durch; bisheriger Ansatz war:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 } \to [/mm] (Gauß) [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \to (\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 }) [/mm] = V, also die lineare Hülle.
Den ersten Teil habe ich umgeschrieben zu [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] + [mm] x_{5}
[/mm]
[mm] \vektor{-x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} } [/mm] = [mm] \vektor{-x_{2} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] \vektor{ x_{3} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] \vektor{x_{4} \\ 0 \\ 0 \\ x_{4} \\ 0 } [/mm] + [mm] \vektor{x_{5} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ x_{5} } [/mm] = [mm] x_{2}* \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] * [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] * [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Erneute Umformung nach Gauß ergibt:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] = U
Vorausgesetzt das stimmt alles (was ich soar selber nicht wirklich glaube) fehlt jetzt nur noch der Schnitt von U und V. Auf den ersten Blick erkenne ich aber nur einen gleichen Vektor, nämlich den [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, [/mm] was bedeuten würde, dass die Dimension des Schnittes der beiden 1 wäre. Die Aufgabe gibt übrigens "nur" einen Punkt, allzu aufwendig dürfte es daher auch nicht sein. Der Groschen will aber leider nicht fallen...
Über Hilfe würde ich mich daher sehr freuen.
MfG
Makito
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 So 24.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Umformungen sind falsch. mit deinem erzeugten V kannst du z.B weder a, noch b, noch c, die ja in V liegen durch Linearkomb, erzeugen.
dasselbe gilt für deineerzeugts U, du findest keinnen vektor mit 1. Komponente ungleich 0.
welche vektoren Von V kannst du durch linearkomb. von U (ohne Umformung) denn erzeugen, die liegen im Schnitt,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 24.03.2013 | | Autor: | Makito |
Ersteinmal vielen Dank für die schnelle Antowrt.
Um deine Frage Frage ("welche vektoren Von V kannst du durch linearkomb. von U (ohne Umformung) denn erzeugen, die liegen im Schnitt") beantworten zu können müsste ich erst einmal wissen, wie genau sich V denn darstellen lässt.
Ich habe versucht das Ganze durch vier Basisvektoren darstellen zu lassen, was anscheinend falsch ist; könntest du mir evtl. einen Tipp geben, wie ich die richtige Darstellungsform finden könnte?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast herausgefunden, daß die vier Vektoren $ [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $ den VR U erzeugen.
Da die Vektoren offensichtlich auch linear unabhängig sind, sind sie eine Basis von U.
Wenn Du Dich genug anstrengst, stellst Du fest, daß $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $ und $ [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] $ eine Basis von V bilden.
Du interessierst Dich jetzt für den Schnitt.
Welche Vektoren sind im Schnitt? Die, die man sowohl als Linearkombination der Basisvektoren von U als auch der von V schreiben kann. Dh.es sind die Vektoren drin, für welche es [mm] \lambda_1,..., \lambda_6 [/mm] gibt mit
$ [mm] \lambda_1\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } +\lambda_2\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } +\lambda_3\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }\lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $ =$ [mm] \lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } $+\lambda_6 \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] $.
Das sollte schonmal etwas weiterhelfen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 24.03.2013 | | Autor: | Makito |
Ok,
die Basis für U hätte ich nicht weiter umformen dürfen, das werde ich mir merken.
Wieso die beiden anderen Vektoren Basis für V sind konnte ich auch nachvollziehen.
Jetzt aber zum entscheidenden Teil; ich habe mir die Gleichung angeschaut und mir dazu folgendes überlegt:
[mm] \lambda_1\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } +\lambda_2\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } +\lambda_3\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } +\lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] - [mm] \lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] - [mm] \lambda_6 \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] = 0
(Die vielen Rechenschritte lasse ich an dieser Stelle mal aus); als Ergebnis habe ich
[mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 [/mm] und [mm] \lambda_4=\lambda_6=-\lambda_5
[/mm]
Die ersten drei Vektoren könnte man somit wegfallen lassen, da diese l.u. gegenüber der Basis von V sind, die anderen drei Vektoren (also die neben [mm] \lambda_4 [/mm] , [mm] \lambda_5 [/mm] und [mm] \lambda_6) [/mm] hingegen sind l.a., was bedeutet, dass sie im Schnitt liegen müssten. Dim des Schnitts ist somit also 3?
EDIT: Werde in Zukunft auf Vorschau anstatt auf Senden klicken; sorry deswegen.
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Hallo Makito,
> Ok,
> die Basis für U hätte ich nicht weiter umformen dürfen,
> das werde ich mir merken.
> Wieso die beiden anderen Vektoren Basis für V sind konnte
> ich auch nachvollziehen.
>
> Jetzt aber zum entscheidenden Teil; ich habe mir die
> Gleichung angeschaut und mir dazu folgendes überlegt:
>
> [mm]\lambda_1\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } +\lambda_2\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } +\lambda_3\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } +\lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> - [mm]\lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] - [mm]\lambda_6 \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 }[/mm]
> = 0
>
Es muss doch hier lauten:
[mm]\lambda_1\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } +\lambda_2\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } +\lambda_3\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } +\lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } -\lambda_{\blue{5}}\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } -\lambda_6 \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 }=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> (Die vielen Rechenschritte lasse ich an dieser Stelle mal
> aus); als Ergebnis habe ich
>
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm] und
> [mm]\lambda_4=\lambda_6=-\lambda_5[/mm]
>
> Die ersten drei Vektoren könnte man somit wegfallen
> lassen, da diese l.u. gegenüber der Basis von V sind, die
> anderen drei Vektoren (also die neben [mm]\lambda_4[/mm] , [mm]\lambda_5[/mm]
> und [mm]\lambda_6)[/mm] hingegen sind l.a., was bedeutet, dass sie
> im Schnitt liegen müssten. Dim des Schnitts ist somit also
> 3?
>
>
> EDIT: Werde in Zukunft auf Vorschau anstatt auf Senden
> klicken; sorry deswegen.
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:18 So 24.03.2013 | | Autor: | Makito |
ups, das ist wohl ein Tippfehler. Habe natürlich mit [mm] \lambda_5 [/mm] gerechnet. Stimmen Ergebnis und Rechenweg ansonsten?
EDIT:
Ich habe mir das ganze jetzt nochmal durch den Kopf gehen lassen und glaube, dass die ersten drei Vektoren der Basis von U ( also [mm] \lambda_{1-3}) [/mm] sich nicht darstellen lassen durch die beiden Basen von V. Es bleiben also die vorhin schon genannten drei Basen, die sich gegenseitig darstellen lassen durch Linearkombinationen von einander.
Ich bin mir aber nachwievor nicht sicher, ob das bedeutet, dass die Dimension des Schnitts wirklich drei ist..
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> Ok,
> die Basis für U hätte ich nicht weiter umformen dürfen,
> das werde ich mir merken.
> Wieso die beiden anderen Vektoren Basis für V sind konnte
> ich auch nachvollziehen.
Hallo,
wiederhole den Basisbegriff.
V ist ein VR, welcher von drei Vektoren erzeugt wird.
Diese drei Vektoren sind linear abhängig, wie man durch Nachrechnen herausbekommt. Sie bilden also keine Basis von V.
Wir wissen aber, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält.
Aus dem Erzeugendensystem habe ich eine maximale linear unabhängige Teilmenge herausgefischt, also eine Basis.
>
> Jetzt aber zum entscheidenden Teil; ich habe mir die
> Gleichung angeschaut und mir dazu folgendes überlegt:
>
> [mm]\lambda_1\vektor{-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 } +\lambda_2\vektor{ 1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0 } +\lambda_3\vektor{ 1 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 } +\lambda_4\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 }[/mm] - [mm]\lambda_5\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1 }[/mm] - [mm]\lambda_6 \vektor{2 \\
0 \\
1 \\
0 \\
2 }[/mm] = 0
>
> (Die vielen Rechenschritte lasse ich an dieser Stelle mal
> aus); als Ergebnis habe ich
>
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm] und
> [mm]\lambda_4=\lambda_6=-\lambda_5[/mm]
Ich habe nicht nachgerechnet, sondern übernehme ungeprüft Dein Ergebnis.
Du weißt nun, daß alle Vektoren der Bauart
[mm] v=$0*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } +0*\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } +0*\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } +\lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }$=\lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
bzw. [mm] v=$-\lambda_4\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 }$ [/mm] + [mm] $\lambda_4 \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 }$ =\lambda_4\vektor{1\\0\\0\\0\\1}
[/mm]
sowohl in U als auch in V, also im Schnitt, liegen.
Damit wird der Schnitt aufgespannt vom Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0\\0\\1}, [/mm] ist also eindimensional.
LG Angela
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