Schnittfläche zweier Kreise < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Do 16.03.2006 | | Autor: | Sunday |
| Aufgabe | Gegen seien zwei Punkte A und B.
A(-1, -1) mit Radius 3 und B(0, 0) mit Radius 4 sowie die beiden
Schnittpunkte S1(-0.53609, -3.9639) und S2(-3.9639, -0.53609)
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Wie berechne ich nun die Schnittfläche dieser beiden Kreise? Kann mir das bitte jemand anhand der beiden gegebenen Kreise Schritt für Schritt erklären?
Ich steh völlig auf dem Schlauch und finde einfach keine Lösung. Hier ein Bild wie das ganze aussieht. Die blaue Fläche ist gesucht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Do 16.03.2006 | | Autor: | Sunday |
hab die beiden Schnittpunkte mal noch eingefügt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Do 16.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du willst also wirklich nur die Fläche berechnen, also einen Wert dafür rausbekommen, oder?
Dann kannst du es doch über den Kreisabschnitt herausfinden.
Siehe mal ![[]](/images/popup.gif) HIER und scrolle auf der Seite nach unten rechts - da siehst du die Formel, die du brauchst.
(hängt nur vom Radius und den entspr Winkel ab)
Die blaue Fläche setzt sich dann folgendermaßen zusammen:
Fläche des kleinen Kreises minus dem Kreisabschnitt (des kleinen Kreises!) über der dunkelblauen Linie plus dem Kreisabschnitt (des großen Kreises) über der dunkelblauen Linie.
Du solltest also einfach mal die beiden Schnittpunkte der Kreise bestimmen und dann bekommst du über die Vektoren zum Mittelpunkt eines Kreises den Winkel über dem Kreisabschnitt.
(der ist für beide Kreise natürlich unterschiedlich)
Dann musst du alles nur noch nach dn Formeln berechnen und bist fertig.
Versuchst du es mal? (schreib das ruhig hier auf, wie weit du gekommen bist, wenn du weitere Fragen hast)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Do 16.03.2006 | | Autor: | Sunday |
Naja diese Lösung funktioniert für dieses Beispiel. Wenn nun aber folgende beide Kreise gegeben sind (siehe Bild) dann lässt sich die erste Lösung nicht 1:1 darauf anwenden. Ich bräuchte nen Möglichkeit, dass das korrekte Ergebnis immer herauskommt, unabhängig welche beiden Kreise gegeben sind. Möchte das gerne programmiertechnisch umsetzen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Fr 17.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Sunday,
(wir freuen uns auch ueber eine nette Begruessung...)
ich konnte ja nicht ahnen, dass du es gleich allgemein haben willst.
Allgemein ist es sogar "einfacher" in gewissem Sinne :
Es gilt naemlich, was man auf der zweiten Skizze sieht:
Angenommen du hast die Schnittpunkte berechnet, dann ist die Schnittflaeche "einfach" die Summe der beiden Kreisabschnitte ueber der Strecke durch die Schnittpunkte.
Jetzt wirst du sagen : ja aber im ersten Fall ist es ja nicht so...
Und da kommt jetzt die Sache mit dem "einfach" ins Spiel:
Im ersten Fall ist der Winkel einfach nur falsch gewaehlt - wir nehmen ab jetzt immer den Winkel vom Kreismittelpunkt zur Strecke aber in Richtung des anderen Kreismittelpunktes, d.h. bei der ersten Skizze ist ja der Kreisabschnittswinkel des kleineren Kreises ca 100 , aber wenn man ihn in Richtung des anderen Mittelpunktes misst ist er (360-100)=260...
Der Witz hierbei ist, dass die Formel das auch mitmacht:
Wenn du in [mm] $\bruch{r^2}{2}(\bruch{\pi \alpha}{180}-\sin (\alpha))$ [/mm] statt [mm] $\alpha$ [/mm] mal [mm] $(360-\alpha [/mm] )$ einsetzt erhaelst du [mm] $\bruch{r^2}{2}(2\pi -\bruch{\pi \alpha}{180}+\sin (\alpha))$
[/mm]
und wenn du [mm] $\pi *r^2 [/mm] - [mm] \bruch{r^2}{2}(\bruch{\pi \alpha}{180}-\sin (\alpha))$ [/mm] ausrechnest bzw zusammen fasst erhaelst du das selbe ...
Also, mal eine Zusammenfassung in Pseudo-code
(mit einer vereinfacherenden if-schleife)
-wenn es zwei Schnittpunkte gibt
{
-berechne beide Winkel der Kreisabschnitte
-wenn beide Mittelpunkte auf der selben Seite der Geraden zw. den
Schnittpunkten liegen
dann setze den groesseren der Winkel auf (360- Wert vorher)
-berechne beide Kreisabschnitte nach der Formel und addiere sie
}
Hinweise:
der groessere von beiden Winkel ist der vom kleineren Kreis, denn der liegt naeher an der Geraden
Ausserdem musst du noch spezialfaelle abfangen wie:
es gibt keinen Schnittpunkt, aber der Mittelpunkt des kleineren Kreises ist im groesseren enthalten
(und dasselbe mit genau einem schnittpunkt)
ich hoffe, dies ist ein wenig mehr, wie du es meintest
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Sunday |
Hi, Hallo, Willkommen... :o)
Vielen Dank für die Hilfe!!! Wenn man Jahrelang nichts mehr macht in Mathe verlernt man die oft einfachsten Dinge.
nach einigem rumprobieren, komme ich nun auf die Fläche die auch das Programm liefert, dem ich die Bilder entnommen habe. Scheint also zu funktionieren...
Mache es nun wie folgt:
Gegeben sind die beiden Kreise mit ihren Mittelpunkten und die beiden Schnittpunkte der Kreise (die Sonderfälle (Kreis berühren sich nicht bzw. ein Kreis liegt im anderen Kreis) werden nicht betrachtet, da sie für meine Zwecke nicht relevant sind).
Winkel sind im Bogenmaß
1. Berechnung Innenwinkel beider Kreise
2. Test ob beide Mittelpunkte auf einer Seite sind bzgl. einer gerichteten Geraden durch die beiden Schnittpunkte
2a. wenn ja, dann den größeren der beiden Innenwinkel von 360° abziehen
3. Attribute der beiden Kreissektoren bestimmen (jeweils Sektorfläche, Dreiecksfläche (Dreieck zwischen Mittelpunkten und den Schnittpunkten))
4. Liegen beiden Mittelpunkte auf einer Seite, dann:
Schnittfläche = (Sektorfläche von Kreis1 + Sektorfläche von Kreis2) - |(Dreiecksfläche von Kreis2 - Dreiecksfläche von Kreis1)|
sonst:
Schnittfläche = (Sektorfläche von Kreis1 + Sektorfläche von Kreis2) - (Dreiecksfläche von Kreis2 + Dreiecksfläche von Kreis1)
Sektorfläche = Kreisfläche * (Innenwinkel / (2 [mm] \pi))
[/mm]
Dreiecksfläche = [mm] \wurzel{(Radius^{2} - (DistanzSchnittpunkte^{2} / 4))} [/mm] * (DistanzSchnittpunkte / 2)
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