Schnittfläche zweier Kreise < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:13 Di 26.08.2008 | | Autor: | RaginRob |
| Aufgabe | | Gesucht ist die Schnittfläche zweier Kreise (mit r1 und r2, r2<r1). Der Mittelpunkt des zweiten Kreises liegt auf der Kreisbahn des ersten Kreises. Wie lautet die Formel für die Schnittfläche? |
Hallo zusammen,
ich hoffe, ich habe soweit alles richtig ausgefüllt, das ist mein erster Post hier.
Ich versuche nun seit Stunden herauszufinden, ob es eine allgemeine Formel gibt, die mir die Schnittfläche der beiden Kreise ausspuckt. Hier noch einmal kurz die Angaben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
- Mittelpunkt von Kreis Nr. 2 liegt auf Kreis Nr. 1
- Radius von Kreis Nr. 2 ist kleiner als Radius von Kreis Nr. 1
Ich habe nun versucht, die Fläche der Kreissegmente auszurechnen, wovon es ja zwei Stück gibt, einmal die gemeinsame Sehne und der Kreisbogen des kleinen Kreises (in Richtung Mittelpunkt des großen Kreises) und dann das Segment gemeinsame Sehne und Kreisbogen des großen Kreises (welcher ja an seinem Scheitelpunkt durch den Mittelpunkt des kleinen Kreises geht). Soweit ich das verstehe müsste die Summe der beiden Kreissegmentflächen ja dann die Schnittfläche sein.
Wenn ich nun versuche die zuerst beschriebene Kreissegmentfläche mit der Formel [mm] s=2r*sin(\alpha/2) [/mm] auszurechnen, habe ich schon ein Problem. Der Winkel ist mir unbekannt.
Mit der alternativen Formel [mm] s=2*\wurzel{r^{2}-(r-h)^{2}} [/mm] komme ich auch nicht weiter, da ich h nicht kenne.
Ist es so eigentlich überhaupt möglich, nur mit r1 und r2 die Schnittfläche auszurechnen? Ich stehe leider vollkommen auf dem Schlauch. Meine Schulzeit liegt schon einige Zeit zurück, ich habe die vage Vermutung, dass ich hier irgendetwas gleichsetzen muss, um weiterzukommen, kann das sein?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand ein paar erläuternde Sätze dazu schreiben könnte!
Freundliche Grüße,
Rob
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Gesucht ist die Schnittfläche zweier Kreise (mit r1 und r2,
> r2<r1). Der Mittelpunkt des zweiten Kreises liegt auf der
> Kreisbahn des ersten Kreises. Wie lautet die Formel für die
> Schnittfläche?
> Hallo zusammen,
>
> ich hoffe, ich habe soweit alles richtig ausgefüllt, das
> ist mein erster Post hier.
>
> Ich versuche nun seit Stunden herauszufinden, ob es eine
> allgemeine Formel gibt, die mir die Schnittfläche der
> beiden Kreise ausspuckt. Hier noch einmal kurz die
> Angaben:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> - Mittelpunkt von Kreis Nr. 2 liegt auf Kreis Nr. 1
> - Radius von Kreis Nr. 2 ist kleiner als Radius von Kreis
> Nr. 1
>
> Ich habe nun versucht, die Fläche der Kreissegmente
> auszurechnen, wovon es ja zwei Stück gibt, einmal die
> gemeinsame Sehne und der Kreisbogen des kleinen Kreises (in
> Richtung Mittelpunkt des großen Kreises) und dann das
> Segment gemeinsame Sehne und Kreisbogen des großen Kreises
> (welcher ja an seinem Scheitelpunkt durch den Mittelpunkt
> des kleinen Kreises geht). Soweit ich das verstehe müsste
> die Summe der beiden Kreissegmentflächen ja dann die
> Schnittfläche sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich nun versuche die zuerst beschriebene
> Kreissegmentfläche mit der Formel [mm]s=2r*sin(\alpha/2)[/mm]
> auszurechnen, habe ich schon ein Problem. Der Winkel ist
> mir unbekannt.
Aber Du kannst diese Winkel ausrechnen: ist [mm] $\alpha_1/2$ [/mm] der Spitzenwinkel des gleichscheinkligen Dreiecks mit Schenkellänge [mm] $r_1$ [/mm] und Basislänge [mm] $r_2$, [/mm] dann gilt
[mm]\frac{\alpha_1}{2}=2\cdot\sin^{-1}\frac{r_2/2}{r_1}[/mm]
bzw. aufgrund des Cosinussatzes für dieses gleichschenklige Dreieck:
[mm]\frac{\alpha_1}{2}=\cos^{-1}\frac{2r_1^2-r_2^2}{2r_1^2}[/mm]
Entsprechend für den Winkel, [mm] $\alpha_2$, [/mm] den Du für die Berechnung der Fläche des zweiten Kreissegmentes benötigst.
Nachtrag (2. Revision): Es besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen [mm] $\alpha_1/2$ [/mm] und [mm] $\alpha_2/2$: $\alpha_2/2=90^\circ -\alpha_1/4$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Somebody!
> Ich war leider zu lange nicht mehr im Forum, so dass Dein
> Kaffee inzwischen kalt geworden sein dürfte.
Naja, es gibt ja Kaffeemaschinen für den Nachschub ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ...
> Hier, rot eingezeichnet, das gleichschenklige Dreieck, das mir
> vorschwebte
Danke, ich war etwas auf die (gemeinsame) Sehne der Segmente fixiert.
Nun ist's klar!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:19 Mi 27.08.2008 | | Autor: | RaginRob |
> > Hier, rot eingezeichnet, das gleichschenklige Dreieck, das
> mir
> > vorschwebte
>
> Danke, ich war etwas auf die (gemeinsame) Sehne der
> Segmente fixiert.
> Nun ist's klar!
Jetzt sehe ich's auch! Ich habe es einfach übersehen, da ich hier eine ziemlich unschöne Skizze habe, auf der man das o.g. Dreieck nur mit viel Phantasie "rauslesen" kann...
Ab hier ist dann auch schon alles klar, vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Rob
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> Gesucht ist die Schnittfläche zweier Kreise (mit r1 und r2,
> r2<r1). Der Mittelpunkt des zweiten Kreises liegt auf der
> Kreisbahn des ersten Kreises. Wie lautet die Formel für die
> Schnittfläche?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> - Mittelpunkt von Kreis Nr. 2 liegt auf Kreis Nr. 1
> - Radius von Kreis Nr. 2 ist kleiner als Radius von Kreis Nr. 1
Letztere Bedingung ist wohl eigentlich zu streng:
Hat man eine Flächenformel, welche für [mm] r_2
so gilt diese sogar für [mm] r_2\le 2*r_1 [/mm] ! Im Grenzfall [mm] r_2=2*r_1
[/mm]
sollte sie den Flächeninhalt von Kreis Nr. 1, also [m]\pi*r_1^2[/m]
liefern.
LG
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Hallo RaginRob,
um mich nicht mit den Indices herumschlagen zu müssen,
habe ich die Radien statt mit [mm] r_1, r_2 [/mm] mit a und b bezeichnet.
Die Kreismittelpunkte seien M (für 1. Kreis) und N (2. Kreis).
Die Schnittpunkte der beiden Kreise seien P und Q ; der
Mittelpunkt der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] sei Z .
Zu berechnen ist der Flächeninhalt F = [mm] S_1+S_2 [/mm] der zwei
Segmentflächen, welche die Sehne von den beiden
Kreisen abschneidet. Natürlich spielen die Winkel eine
Rolle. Setzen wir [mm] \alpha=\angle{NMP} [/mm] und [mm] \beta=\angle{PNM}.
[/mm]
Der Flächeninhalt [mm] S_1 [/mm] ergibt sich als Differenz der Sektor-
fläche des ersten Kreises mit dem Zentriwinkel [mm] 2*\alpha
[/mm]
und dem Inhalt des Dreiecks MPQ.
Diese Dreiecksfläche entspricht dem Inhalt des Rechtecks
mit den Seiten [mm] \overline{ZM} [/mm] und [mm] \overline{ZP}. [/mm] Diese
lassen sich mittels a und [mm] \alpha [/mm] leicht ausdrücken.
Analog wie [mm] S_1 [/mm] berechnet man [mm] S_2.
[/mm]
Zur Berechnung der Winkel ist es noch nützlich, das
Dreieck OPN zu betrachten, wobei O der diametral gegen-
über liegende Punkt zu N auf dem 1. Kreis ist.
Am Schluss bin ich auf folgende Formeln gekommen:
[m]\ F = a^2*\alpha + b^2*\beta - b*\wurzel{a^2-\bruch{b^2}{4}} [/m]
Dabei ist [mm] \beta [/mm] = [mm] arccos(\bruch{b}{2a}) [/mm] und [mm] \alpha=\pi-2\beta
[/mm]
Der Versuch, alles in eine einzige Formel hinein zu buttern
ergab:
[m]\ F = \pi*a^2+(b^2-2a^2)*arccos(\bruch{b}{2a}) - b*\wurzel{a^2-\bruch{b^2}{4}} [/m]
LG al_Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:15 Mi 27.08.2008 | | Autor: | RaginRob |
Das war eine perfekte Erklärung, vielen Dank! Ich habe die gleichschenkligen Dreiecke nicht gesehen, was wahrscheinlich an meiner etwas hastig zusammengekritzelten Skizze lag, die ich hier habe. Nun ist alles klar.
Grüße,
Rob
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
Danke ...
