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Schnittgerade: Hilfe und Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 So 25.04.2021
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>2 Ebenen schneiden sich, die eine (E1)ist in Parameterform, die zweite (E2) in Koordinatenform dargestellt. Notwenigerweise müssen beide Ebenen die gleiche Form haben. 
Daher will ich folgende Ebene umformen in eine Ebene in Parameterform
E2: 2x2 + x3 = 11
Normalerweise ist die Umformung nicht schwer, aber (und das ist mein Problem) x1 fehlt.
 


<br>Angenommen x1 würde existieren, dann sähe die Umformung so aus:
x1 + 2x2 + x3 = 11

umgestellt nach x1:
x1 = 11 - 2x2 - x3     für x2 setze ich s und für x3 setze ich t, dann:
x1 = 11 - 2s - t
x2 =  0    s   0
x3 =  0    0   t

Die Ebene E2 hätte dann die Gleichung: x = (11,0,0) + s(-2,1,0) + t(-1,0,1)

Diese Ebenengleichung kann nicht richtig sein, da ja x1 gar nicht in der Bestandsgleichung existiert.

Wie sieht die Lösung meines Problems aus? Für Hilfe wäre ich sehr dankbar
Mit freundliuchen Grüßen
wolfgangmax
 

        
Bezug
Schnittgerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 So 25.04.2021
Autor: statler


> <br>2 Ebenen schneiden sich, die eine (E1)ist in
> Parameterform, die zweite (E2) in Koordinatenform
> dargestellt. Notwenigerweise müssen beide Ebenen die
> gleiche Form haben. 
>  Daher will ich folgende Ebene umformen in eine Ebene in
> Parameterform
>  E2: 2x2 + x3 = 11
>  Normalerweise ist die Umformung nicht schwer, aber (und
> das ist mein Problem) x1 fehlt.
>   

Hallo,

Eine mögliche Lösung ist z. B., daß du dir 3 Punkte in dieser Ebene suchst, die nicht auf einer Geraden liegen. Da x1 fehlt, hast du bei der x1-Koordinate völlig freie Hand. P(0|5|1), Q(1|5|1) und R(0|0|11) tun es. Damit kannst du jetzt einen Stütz- und zwei Spannvektoren berechnen.

Weil in der Koordinatenform x1 fehlt, liegt die Ebene parallel zur x1-Achse. Die beiden Ebenendarstellungn müssen übrigens nicht notwendigerweise die gleiche Form haben.

Gruß aus HH
Dieter

Bezug
        
Bezug
Schnittgerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 So 25.04.2021
Autor: HJKweseleit


> <br>2 Ebenen schneiden sich, die eine (E1)ist in
> Parameterform, die zweite (E2) in Koordinatenform
> dargestellt. Notwenigerweise müssen beide Ebenen die
> gleiche Form haben. 
>  Daher will ich folgende Ebene umformen in eine Ebene in
> Parameterform
>  E2: 2x2 + x3 = 11
>  Normalerweise ist die Umformung nicht schwer, aber (und
> das ist mein Problem) x1 fehlt.
>   
>  
> <br>Angenommen x1 würde existieren, dann sähe die
> Umformung so aus:
>  x1 + 2x2 + x3 = 11

Genau so sieht sie auch aus, bis auf einen Fehler: Es heißt

[mm] \red{0}*x1 [/mm] + 2x2 + x3 = 11


>  
> umgestellt nach x1:

Das wird dann nichts, aber

[mm] x_3=11-2x_2 [/mm]
[mm] x_1=beliebig, [/mm] und damit

[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\11-2x_2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 11}+x_1\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+x_2\vektor{0 \\ 1 \\ -2} [/mm]


Aber: Um die Schnittgerade zweier Ebenen zu bestimmen, ist das Beste, das dir passieren kann, wenn eine in Parameter- und die andere in Koordinatenform angegeben ist.

Nehmen wir mal

[mm] E_1: \vec{x}= \vektor{1 \\ -1 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 4 \\ 3}+t\vektor{1 \\ 1 \\ 3}=(ZUSAMMENFASSEN!)\vektor{1+s+t \\ -1+4s+t \\ 3+3s+3t} [/mm]

und
[mm] E_2: x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 11

Jetzt setzt du einfach die Koordinaten von [mm] E_1 [/mm] in [mm] E_2 [/mm] ein, also

[mm] x_1=1+s+t [/mm]
[mm] x_2=-1+4s+t [/mm]
[mm] x_3=3+3s+3t [/mm]

und damit (1+s+t)+2*(-1+4s+t)+(3+3s+3t)=2+12s+6t=11

Daraus folgt 6t = 9 - 12s, also t=1,5-2s, und das setzt du jetzt in die Parameterform ein:

[mm] \vektor{1+s+t \\ -1+4s+t \\ 3+3s+3t}=\vektor{1+s+1,5-2s \\ -1+4s+1,5-2s \\ 3+3s+3(1,5-2s)}= [/mm]
[mm] \vektor{2,5 \\ 0,5 \\ 7,5}+s\vektor{-1 \\ 2 \\ -3}, [/mm] und das ist die Gleichung der Schnittgerade.

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