Schnittgerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 So 09.05.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich hätte folgende Frage, und zwar: Wenn ich 2 Ebenen in Koordinatenform gegeben habe, also [mm] E_{1} [/mm] : [mm] ax_{1} [/mm] + [mm] bx_{2}+ cx_{3} [/mm] =d und [mm] E_{2}: ex_{1} [/mm] + [mm] fx_{2}+ gx_{3} [/mm] =h mit a,b,c,d,e,f,g, h [mm] \in \IR [/mm] und die 2 Ebenen sollen sich schneiden...
Was passiert genau, wenn ich nun [mm] ax_{1} [/mm] + [mm] bx_{2}+ cx_{3} [/mm] -d = [mm] ex_{1} [/mm] + [mm] fx_{2}+ gx_{3} [/mm] -h setze? An sich bekomm ich dann ja eine neue Ebene heraus und keine Schnittgerade die es ja eigentlich sein sollte...? Enthält diese Ebene denn wenigstens dann die Schnittgerade und wie sieht diese Ebene aus, kann man darüber denn irgendetwas aussagen? Ist das möglicherweise eine Winkelhalbierende zwischen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2}?
[/mm]
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:12 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Ersty |
Hi,
vlt hilft dir das hier:
http://www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/schnittprobleme/ebene-schneidet-ebene/
Wenn nicht, frag nochmal nach!
MFG Ersty
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> Ich hätte folgende Frage, und zwar: Wenn ich 2 Ebenen in
> Koordinatenform gegeben habe, also [mm]E_{1}[/mm] : [mm]ax_{1}[/mm] + [mm]bx_{2}+ cx_{3}[/mm]
> =d und [mm]E_{2}: ex_{1}[/mm] + [mm]fx_{2}+ gx_{3}[/mm] =h mit a,b,c,d,e,f,g,
> h [mm]\in \IR[/mm] und die 2 Ebenen sollen sich schneiden...
Hallo,
wenn man es richtig macht, bestimmt man zur Beantwortung dieser Frage die Lösungsmenge des Gleichungssystems
ax+bx+cz=d
ex+fy+gz=h,
welches äquivalent ist zu
ax+bx+cz-d=0
ex+fy+gz-h=0.
> Was passiert genau, wenn ich nun [mm]ax_{1}[/mm] + [mm]bx_{2}+ cx_{3}[/mm]
> -d = [mm]ex_{1}[/mm] + [mm]fx_{2}+ gx_{3}[/mm] -h setze?
Das obige GS ist äquivalent zu
[mm]ax_{1}[/mm] + [mm]bx_{2}+ cx_{3}[/mm] -d = [mm]ex_{1}[/mm] + [mm]fx_{2}+ gx_{3}[/mm] -h
ex+fy+gz-h=0,
und wenn Du dieses verwendest, passiert gar nichts weiter, Du bekommst die richtige Lösung.
Deine Frage zielt nun auf die Ebene [mm] E_3, [/mm] welche Lösung der Gleichung
[mm]ax_{1}[/mm] + [mm]bx_{2}+ cx_{3}[/mm] -d = [mm]ex_{1}[/mm] + [mm]fx_{2}+ gx_{3}[/mm] -h
ist.
Es ist die Ebene, in welcher all die Punkte [mm] (p_1|p_2|p_3) [/mm] liegen, für welche $ [mm]ax_{1}[/mm] + [mm]bx_{2}+ cx_{3}[/mm] -d = [mm]ex_{1}[/mm] + [mm]fx_{2}+ gx_{3}[/mm] -h $ ist.
Natürlich sind in dieser Ebene auch die Punkte enthalten, für die gleichzeitig
[mm]ax_{1}[/mm] + [mm]bx_{2}+ cx_{3}[/mm] -d =0 [mm] \quad und\quad[/mm] [mm]ex_{1}[/mm] + [mm]fx_{2}+ gx_{3}[/mm] -h=0 $
ist - sofern es solche Punkte gibt.
Wenn es eine Schnittgerade gibt, ist diese also in der Ebene enthalten.
> An sich bekomm ich
> dann ja eine neue Ebene heraus und keine Schnittgerade die
> es ja eigentlich sein sollte
Wenn Du die Bedingung ex+fy+gz-h=0 dazunimmst, bekommst Du die Schnittgerade von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2, [/mm] denn die gemeinsamen Punkte von [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] sind ja dieselben wie von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2.
[/mm]
> Enthält diese Ebene denn
> wenigstens dann die Schnittgerade und wie sieht diese Ebene
> aus, kann man darüber denn irgendetwas aussagen? Ist das
> möglicherweise eine Winkelhalbierende zwischen [mm]E_{1}[/mm] und
> [mm]E_{2}?[/mm]
Das nicht. Ihr Normalenvektor ist der Differenzvektor der beiden Normalenvektoren [mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] und [mm] \vektor{e\\f\\g}.
[/mm]
Schon, wenn Du Dir den Spaß erlaubst und [mm] E_2 [/mm] in der Gestalt [mm] \bruch{1}{5}*(ex+fy+gz-h)=0 [/mm] verwendest, bekommst Du eine andere Ebene - welche aber ebenfalls die Schnittgerade ethält, wenn es eine gibt.
Gruß v. Angela
>
> Viele Grüße
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