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Schnittgerade 2er Ebenen: Aufgabe 3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Mi 29.06.2011
Autor: Sl4yer88

Aufgabe
Gegeben sind zwei Ebenen jeweils durch drei Punkte:
E1 : P1(1; −1; 2) , P2(3; 0; −1) , P3(−1; 2; 0)
E2 : Q1(2; 0; 3) , Q2(0; 1; − 2) , Q3(6; − 2; 6)
a) Bestimmen Sie - im Falle der Existenz - die Schnittgerade der beiden Ebenen und
den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit der xy-Ebene.
b) Wie groß ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen?

Hi @ all,

also ich hab zuerst mal die Punkte überprüft ob diese auf einer Ebene liegen(trifft zu). Dann habe ich die Normalvektoren berechnet und will nun die Schnittgerade ausrechnen.

Normalvektor * (r0-r1) = n1x(x0-r1x)+n1y(y0-r1y)+n1z(z0-r1z)=0
Normalvektor2 * (r0-r2) = n2x(x0-r2x)+n2y(y0-r2y)+n2z(z0-r2z)=0

Mir fehlen eigendlich nur die Werte für die folgenden Vektoren: r1 und r2 ??

Ich hoffe mir kann da Jemand weiterhelfen.

LG aLex

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Schnittgerade 2er Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Mi 29.06.2011
Autor: leduart

Hallo
warum stellst du nicht einfach die gl der 2 ebenen auf und schneidest sie?
was du aufgeschrieben hast ist so für mich nicht lesbar, weil da für mich unbekannte Bezeichnungen stehen.
Die normalenvektoren brauchst du für den Schnittwinkel der Ebene, also für b)
Gruss leduart


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Bezug
Schnittgerade 2er Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Mi 29.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Gegeben sind zwei Ebenen jeweils durch drei Punkte:
>  E1 : P1(1; −1; 2) , P2(3; 0; −1) , P3(−1; 2; 0)
>  E2 : Q1(2; 0; 3) , Q2(0; 1; − 2) , Q3(6; − 2; 6)
>  a) Bestimmen Sie - im Falle der Existenz - die
> Schnittgerade der beiden Ebenen und
>  den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit der xy-Ebene.
>  b) Wie groß ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen?
>  Hi @ all,
>  
> also ich hab zuerst mal die Punkte überprüft ob diese auf
> einer Ebene liegen(trifft zu). Dann habe ich die
> Normalvektoren berechnet und will nun die Schnittgerade
> ausrechnen.
>  
> Normalvektor * (r0-r1) =
> n1x(x0-r1x)+n1y(y0-r1y)+n1z(z0-r1z)=0
>  Normalvektor2 * (r0-r2) =
> n2x(x0-r2x)+n2y(y0-r2y)+n2z(z0-r2z)=0
>  
> Mir fehlen eigendlich nur die Werte für die folgenden
> Vektoren: r1 und r2 ??
>  
> Ich hoffe mir kann da Jemand weiterhelfen.
>  
> LG aLex


Hallo Alex,

es sieht so aus, als ob du da eine Formel anwenden wolltest,
die dir zwar vorliegt, die du aber überhaupt nicht verstanden
hast.
Um Mathematikaufgaben zu lösen, ist dies eine äußerst
unfruchtbare Methode.
Mach dir zuerst selber klar (anhand deiner Unterlagen oder
eines Lehrbuches), was mit den in der Formel vorkommenden
Bezeichnungen genau gemeint ist.
Was ist zum Beispiel mit r0 gemeint ?

LG   Al-Chw.

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Schnittgerade 2er Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Mi 29.06.2011
Autor: Sl4yer88

Also, erst mal danke für die Antwort.
Ich hab inzwischen verstanden das ich bei der Berechnung der Normalvektoren einen Fehler gemacht habe aber welchen weiss ich nicht.

Zu der Formel: Ich habe jeweils 3 Punkte gegeben aus denen ich eine Ebene mache mit der 3-Punkte-Form. Dann habe ich die Ebene. Danach bilde ich die Normalvektoren. Scnittgerade in Punkt-Richtungs-Form: r(landa) = Ortsvektor + landa * Richtungsvektor a. Und a = Kreuzprod. von (Normalvektor1 u. Normalvektor2). Dann will ich den Ortsvektor r0 des (zunächst unbekannten) Punktes P0 der Schnittgeraden über das lineare Gleichungssystem lösen.

ABER ich bekomme für den Normalvektor n1(5|10|0) und Normalvektor n2(4|23|3) heraus was falsch ist...

Berechnet habe ich die Normalvektoren via:

[Externes Bild http://www.schule-studium.de/Mathe/images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Aufgabe-Schnittwinkel-zweier-Ebenen/Ebene-1.jpg]

[Externes Bild http://www.schule-studium.de/Mathe/images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Aufgabe-Schnittwinkel-zweier-Ebenen/Normalenvektor-Ebene-E.jpg]

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Schnittgerade 2er Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Mi 29.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Also, erst mal danke für die Antwort.
>  Ich hab inzwischen verstanden das ich bei der Berechnung
> der Normalvektoren einen Fehler gemacht habe aber welchen
> weiss ich nicht.
>  
> Zu der Formel: Ich habe jeweils 3 Punkte gegeben aus denen
> ich eine Ebene mache mit der 3-Punkte-Form. Dann habe ich
> die Ebene. Danach bilde ich die Normalvektoren.
> Scnittgerade in Punkt-Richtungs-Form: r(landa) = Ortsvektor
> + landa * Richtungsvektor a. Und a = Kreuzprod. von
> (Normalvektor1 u. Normalvektor2). Dann will ich den
> Ortsvektor r0 des (zunächst unbekannten) Punktes P0 der
> Schnittgeraden über das lineare Gleichungssystem lösen.
>  
> ABER ich bekomme für den Normalvektor n1(5|10|0) und
> Normalvektor n2(4|23|3) heraus was falsch ist...


Richtige Normalenvektoren für die Ebenen wären:

       [mm] $\vec{n}_1\ [/mm] =\ [mm] \pmat{7\\10\\8}\qquad\vec{n}_2\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\2\\0}$ [/mm]

Für die weitere Diskussion wäre es sinnvoll, wenn du
deine kompletten Rechnungen mitteilen würdest, damit
man nicht nur abstrakt über mögliche Lösungswege und
allfällige Fehler "plaudert".

LG    Al-Chw.

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Schnittgerade 2er Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Mi 29.06.2011
Autor: Sl4yer88

@Al-Chwarizmi

E1: [mm] (\overrightarrow{a}*\overrightarrow{c})*\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b})*\overrightarrow{c}=0 [/mm]

Wenn die oben aufgeführte Gleichung aufgeht, sind die Punkte auf einer Ebene.

Das selbe mach ich dann noch für E2, was auch gleich Null war und die Punkte ebenfalls alle auf Ebene 2.

So, jetzt hab ich die Ebenen in Parameterdarstellung aufgestellt via 3-Punkte-Form:

[mm] \pmat{ x & y & z }=\pmat{ x1 & y1 & z1 }+\lambda\pmat{ x2 & y2 & z2 - x1 & y1 & z1 }+\mu\pmat{ x3 & y3 & z3 - x1 & y1 & z1 } [/mm]

[mm] E1=\pmat{ 1 & -1 & 2 }+\lambda\pmat{ 2 & -1 & -3 }+\mu\pmat{ -2 & 1 & -2 } [/mm]

[mm] E2=\pmat{ 2 & 0 & 3 }+\lambda\pmat{ -2 & 1 & -5 }+\mu\pmat{ -3 & 0 & -4 } [/mm]

Dann hab ich die Normalvektoren berechnet:

[mm] \overrightarrow{n1}=\pmat{ 2 & -1 & -3 }\times\pmat{ -2 & 1 & -2 } [/mm]

[mm] \overrightarrow{n2}=\pmat{ -2 & 1 & -5 }\times\pmat{ -3 & 0 & -4 } [/mm]

wobei mit [mm] \times [/mm] das Kreuzprodukt gemeint ist.

So und irgendwo muss ich hier schon einen Fehler gemacht haben sonst würde durch auflösen des folgenden Gleichungssystem die richtige SChnittgerade herauskommen:

[mm] \overrightarrow{n1}=(\vec{r0}-\vec{r1}) [/mm]
[mm] \overrightarrow{n2}=(\vec{r0}-\vec{r2}) [/mm]

lg aLex




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Schnittgerade 2er Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:43 Do 30.06.2011
Autor: leduart

Hallo

> @Al-Chwarizmi
>  
> E1:
> [mm](\overrightarrow{a}*\overrightarrow{c})*\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b})*\overrightarrow{c}=0[/mm]
>  
> Wenn die oben aufgeführte Gleichung aufgeht, sind die
> Punkte auf einer Ebene.

3 Punkte liegen immer in einer Ebene, die ist höchstens nicht festgelegt, wenn sie auf ener Geraden liegen. dazu reicht aber AB nicht parallel AC

> Das selbe mach ich dann noch für E2, was auch gleich Null
> war und die Punkte ebenfalls alle auf Ebene 2.
>  
> So, jetzt hab ich die Ebenen in Parameterdarstellung
> aufgestellt via 3-Punkte-Form:
>  
> [mm]\pmat{ x & y & z }=\pmat{ x1 & y1 & z1 }+\lambda\pmat{ x2 & y2 & z2 - x1 & y1 & z1 }+\mu\pmat{ x3 & y3 & z3 - x1 & y1 & z1 }[/mm]

Diese Formel ist für mich völlig unverständlich, du hast doch mit den Punkten A,B,C
[mm] A+\lambda*AB +\mu*AC [/mm]
wobeo A=(x1,y1,z1) B=(x2,y2,z2 ) C=(x3,y3,z3) also AC=(x3-x1,y3-y1,z3-z1)

> [mm]E1=\pmat{ 1 & -1 & 2 }+\lambda\pmat{ 2 & -1 & -3 }+\mu\pmat{ -2 & 1 & -2 }[/mm]

wie du auf den zweiten richtungsvektor kommst seh ich nicht!

>  
> [mm]E2=\pmat{ 2 & 0 & 3 }+\lambda\pmat{ -2 & 1 & -5 }+\mu\pmat{ -3 & 0 & -4 }[/mm]
>  
> Dann hab ich die Normalvektoren berechnet:
>  
> [mm]\overrightarrow{n1}=\pmat{ 2 & -1 & -3 }\times\pmat{ -2 & 1 & -2 }[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{n2}=\pmat{ -2 & 1 & -5 }\times\pmat{ -3 & 0 & -4 }[/mm]

nur richtig, wenn du die richtigen richtungsvektoren hast, hast d mit den angegebenen Normalenvektoren verglichen?

> wobei mit [mm]\times[/mm] das Kreuzprodukt gemeint ist.
>  
> So und irgendwo muss ich hier schon einen Fehler gemacht
> haben sonst würde durch auflösen des folgenden
> Gleichungssystem die richtige SChnittgerade herauskommen:
>  
> [mm]\overrightarrow{n1}=(\vec{r0}-\vec{r1})[/mm]
>  [mm]\overrightarrow{n2}=(\vec{r0}-\vec{r2})[/mm]

ich hab keine ahnung, was r0 und r1 sind. warum schneidest du nicht, die angegebenen ebenen E! und E2 nachdem du die Richtungsvektoren kontrolliert hast??
Gruss leduart


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Schnittgerade 2er Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Do 30.06.2011
Autor: Sl4yer88

3 Punkte liegen immer in einer Ebene, die ist höchstens nicht festgelegt, wenn sie auf ener Geraden liegen. dazu reicht aber AB nicht parallel AC


Drei Vektoren sind dann komplanar, wenn ihr Spatprodukt verschwindet (d.h. sie liegen in einer Ebene).

[mm] [\vec{a}\vec{b}\vec{c}] [/mm] = 0

Formeln für Mehrfachprodukte:

(1) Entwicklungssätze:

[mm] \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) [/mm] = [mm] (\vec{a} [/mm] * [mm] \vec{c})\vec{b} [/mm] - [mm] (\vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b})\vec{c} [/mm]

[mm] (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} [/mm] = [mm] (\vec{a} [/mm] * [mm] \vec{c})\vec{b} [/mm] - [mm] (\vec{b} [/mm] * [mm] \vec{c})\vec{a} [/mm]

(2) [mm] (\vec{a} \times \vec{b}) [/mm] * [mm] (\vec{c} \times \vec{d}) [/mm] = [mm] (\vec{a} [/mm] * [mm] \vec{c})(\vec{b} [/mm] * [mm] \vec{d}) [/mm] - [mm] (\vec{a} [/mm] * [mm] \vec{d})(\vec{b} [/mm] * [mm] \vec{c}) [/mm]

Die 3-Punkte-Form einer Ebene: (Die 1 steht für Punkt 1(A) und die 2 für Punkt 2(B) und 3 für Punkt 3(C).

Sind die Richtungsvektoren nun korrekt berechnet oder nicht..? Da die Punkte gegeben sind kann man dies doch prüfen..?

mfg, aLex

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Schnittgerade 2er Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Do 30.06.2011
Autor: leduart

Hallo
1.in meinem Satz ging es nicht darum, ob 3 Vektoren komplanar sind, sondern dass 3 Punkte immer in einer Ebene liegen , 3Punkte bestimmen 2 Vektoren und 2 vektoren liegen immer in einer Ebene.
2. wenn du P2 in dein E1 einstzt erhälst du
t $ [mm] E1=\pmat{ 1 & -1 & 2 }+\lambda\pmat{ 2 & -1 & -3 }+\mu\pmat{ -2 & 1 & -2 } [/mm] $ P2=(3,0,-1)
1) [mm] 1+2*\lambda-2*\mu=3 [/mm]
[mm] 2)-1+1*\lambda+1*\mu=0 [/mm]  |*2
[mm] 2a)-2+2*\lambda-2*\mu=0 [/mm]
1)+2a): -1=3  
a) du hast deine Formel :
$ [mm] \pmat{ x & y & z }=\pmat{ x1 & y1 & z1 }+\lambda\pmat{ x2 & y2 & z2 - x1 & y1 & z1 }+\mu\pmat{ x3 & y3 & z3 - x1 & y1 & z1 } [/mm] $
nicht erklärt wie sieht denn ein [mm] Vektor\pmat{ x3 & y3 & z3 - x1 & y1 & z1 } [/mm] aus)
soll das der Vektor [mm] \vektor{x3-x1\\y3-y1\\z3-z1} [/mm] sein, also der Verbindungsvektor von P1 nach P3?
was deine r sein sollen hast du auch nicht erzählt.
Deine formeln hab ich nicht kontrolliert, weil ich nicht seh, was sie mit dem Schnitt 2 er Ebenen zu tun haben.
Wenn du den Vektor P1zuP2 und P1 zu P3 ausrechnest und die nicht proportional sind, liegen die 3 Punkte nicht auf einer Geraden, also kannst du eine Ebene durch sie legen. ich versteh immer noch nicht, was du anfangs nachprüfst oder warum.
Aber kurz: E1 ist falsch, E2 hab ich deshalb gar nicht angesehen.
Gruss leduart


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Schnittgerade 2er Ebenen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:07 Do 30.06.2011
Autor: Sl4yer88

hi leduart,

ja es soll der Verbindungsvektor von P1 nach P3 sein... ich komm mit dem "Formeleditor" von diesem Forum nicht ganz klar -.-

Zitiere Papula:

Den Ortsvektor r0 des auf der Schnittgeraden gelegenen (aber noch unbekannten) Punktes P0 bestimmen wir wie folgt:

P0 liegt in beiden Ebenen, der zugehörige Ortsvektor r0 erfüllt daher die Gleichungen beider Ebenen:

[mm] \vec{n1} [/mm] * [mm] (\vec{r}0-\vec{r}1)=0 [/mm]
[mm] \vec{n2} [/mm] * [mm] (\vec{r}0-\vec{r}2)=0 [/mm]

Gleichung der Schnittgeraden g:

[mm] \vec{r}(\lambda)=\vec{r}0+\lambda\vec{a} [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Schnittgerade 2er Ebenen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:23 Do 30.06.2011
Autor: leduart

Hallo
warum gehst du auf meinen post, p2 ligt nicht in E1 nicht ein?
Bezeichnungen aus irgend einem Buch zu verwenden und zu denken, dass jedr sie kennt ist recht blauäugig. ich z. Bsp hab keinen Papula, wenn ich ihn hätte, würd ich ihn um 2 ebenen zu schneiden nicht aufmachen.
ob du für die Ebenen die Form [mm] \vec{n}*\vec{r}=d [/mm] oder die koordinatenform benutzt ist egal. Da du sie in Parameterform hast, (sobald die Richtungsvektoren pasen) würde ich die gleichsetzen. hab natürlich nix dagegen, wenn du sie anders (nach deinem papula) schneidest
Gruss leduart


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