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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Sa 24.02.2007 | | Autor: | drummy |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem ist für jedes [mm] t\in \IR [/mm] eine Ebene [mm] E_{t} [/mm] gegeben durch [mm] E_{t}: x_{1}+(t-1)x_{2}+tx_{3}-6=0.
[/mm]
Es gibt eine Gerade k, die in allen Ebenen [mm] E_{t} [/mm] liegt. Ermitteln Sie eine Gleichung von k.
Für welchen Wert von t ist [mm] E_{t} [/mm] parallel zur [mm] x_{2}-Achse?
[/mm]
Für welchen Wert von t ist die Ebene [mm] E_{t} [/mm] orthogonal zu [mm] E_{2}? [/mm] |
Hallo,
bei der ersten Teilaufgabe habe ich die Ebene [mm] E_{t} [/mm] und die Ebene [mm] E_{1} [/mm] versucht jeweils in eine Parametergleichung umzuwandeln. Danach wollte ich die beiden Ebenen gleichsetzen, um die Schnittgerade zu erhalten. Bei der Umformung von [mm] E_{1} [/mm] habe ich folgendes Ergebnis:
x= [mm] \vektor{7 \\ 0 \\ -1}+s\vektor{-2 \\ 0 \\ 2} +r\vektor{-5 \\ 0 \\ 5}
[/mm]
Dies würde aber bedeuten, dass ich eine Gerade und keine Ebene habe, oder?
Bei der Umformung der Ebene [mm] E_{t} [/mm] bin ich gar nicht zu recht gekommen. Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Bei der zweiten Teilaufgabe, muss [mm] x_{2}=0 [/mm] sein und daraus folgt das t=1 ist. Stimmt das so?
Bei der dritten Teilaufgabe muss ich doch das Skalarprodukt der beiden Normalvektoren gleich null setzen, oder? Ich habe für t 1 erhalten. Ist das so richtig?
Es wäre super nett, wenn mir jemand bei den Aufgaben helfen würde.
Vielen Dank im voraus.
Grüße drummy
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Hi, drummy,
> In einem kartesischen Koordinatensystem ist für jedes [mm]t\in \IR[/mm]
> eine Ebene [mm]E_{t}[/mm] gegeben durch [mm]E_{t}: x_{1}+(t-1)x_{2}+tx_{3}-6=0.[/mm]
>
> Es gibt eine Gerade k, die in allen Ebenen [mm]E_{t}[/mm] liegt.
> Ermitteln Sie eine Gleichung von k.
> Für welchen Wert von t ist [mm]E_{t}[/mm] parallel zur
> [mm]x_{2}-Achse?[/mm]
> Für welchen Wert von t ist die Ebene [mm]E_{t}[/mm] orthogonal zu
> [mm]E_{2}?[/mm]
> Hallo,
> bei der ersten Teilaufgabe habe ich die Ebene [mm]E_{t}[/mm] und die
> Ebene [mm]E_{1}[/mm] versucht jeweils in eine Parametergleichung
> umzuwandeln. Danach wollte ich die beiden Ebenen
> gleichsetzen, um die Schnittgerade zu erhalten. Bei der
> Umformung von [mm]E_{1}[/mm] habe ich folgendes Ergebnis:
> x= [mm]\vektor{7 \\ 0 \\ -1}+s\vektor{-2 \\ 0 \\ 2} +r\vektor{-5 \\ 0 \\ 5}[/mm]
>
> Dies würde aber bedeuten, dass ich eine Gerade und keine
> Ebene habe, oder?
Richtig! Du hast vermutlich die "3-Punkt-Methode" verwendet und dabei leider 3 Punkte erwischt, die auf einer Geraden liegen!
Das kann vorkommen!
In dem Fall könntest Du einen der drei Punkte durch einen 4. Punkt ersetzen, der NICHT auf dieser Geraden liegt.
Aber es geht auch anders:
Die Ebene [mm] E_{1} [/mm] ist ja sozusagen ein Sonderfall:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - 6 = 0.
Aus der Tatsache, dass [mm] x_{2} [/mm] "fehlt", kannst Du sofort erkennen, dass die Ebene PARALLEL zur [mm] x_{2}-Achse [/mm] liegen muss.
Daher kannst Du den Richtungsvektor der [mm] x_{2}-Achse [/mm] als Richtungsvektor der Ebene hernehmen.
Somit:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 0 \\ -1}+s\vektor{-2 \\ 0 \\ 2} +r\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
> Bei der Umformung der Ebene [mm]E_{t}[/mm] bin ich gar nicht zu
> recht gekommen. Es wäre super, wenn mir jemand helfen
> könnte.
Nun: Die würd' ich sowieso nicht umformen, denn es ist der "beste Fall" die Schnittgerade zweier Ebenen zu ermitteln, indem man die Parameterform der einen in die Koordinatenform (Normalenform) der anderen einsetzt.
Du musst dann nur darauf achten, dass t [mm] \not= [/mm] 1 ist.
Übrigens könntest Du auch die Ebenen [mm] E_{0} [/mm] und [mm] E_{1} [/mm] schneiden.
Die ermittelte Schnittgerade k setzt Du dann in die Ausgangsgleichung der Ebene [mm] E_{t} [/mm] ein - dann müsst eine wahre Aussage rauskommen: Die Gerade liegt in allen Ebenen drin.
> Bei der zweiten Teilaufgabe, muss [mm]x_{2}=0[/mm] sein und daraus
> folgt das t=1 ist. Stimmt das so?
Nein! Nicht [mm] x_{2} [/mm] ist 0 (sondern im Gegenteil völlig beliebig! - Darauf ist übrigens Dein Fehler bei der obigen Aufgabe zurückzuführen!!!), sondern die KONSTANTE vor dem [mm] x_{2}, [/mm] also (t - 1)!
Und daraus folgt dann natürlich t=1.
> Bei der dritten Teilaufgabe muss ich doch das Skalarprodukt
> der beiden Normalvektoren gleich null setzen, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>Ich habe für t 1 erhalten. Ist das so richtig?
Also: Da krieg' ich für t = 0 raus!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Sa 24.02.2007 | | Autor: | drummy |
Hallo zwerglein,
vielen Dank für die Hilfe. Damit komme ich weiter.
Gruß drummy
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