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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen.
[mm] E1:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + r [mm] \* \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + s [mm] \* \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] E2:\vec{x}=\vektor{2 \\ 3 \\ 2} [/mm] + k [mm] \* \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + l [mm] \* \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] |
Hallo, ich hab zwar eine Rechnung für die obige Aufgabe allerdings bin ich mir ihrer Richtigkeit so gar nicht sicher. Wäre schön, wenn das mal jmd überprüfen kann, der mehr Ahnung hat als ich. Schreibe Dienstag eine Klausur über Vektorrechnung!
Meine Rechnung:
1. Ebenen gleichsetzen:
x1: 1 + r + s= 2 + 2l
x2: s = 3 + k
x3: 3 = 2 + k + l
2. Sotieren:
I. r + s - 2l = 1
II. s - k = 3
III. - k - l = -1
Die III. Gleichung ergibt ja praktisch umgeformt schon k= 1-l womit man ja schon k in Abhängigkeit von l bestimmt hätte. Kann ich das nun einfach in die Ebenengleichung 2 einsetzen?
Also [mm] E2:\vec{x}=\vektor{2 \\ 3 \\ 2} [/mm] + (1 - l) [mm] \*\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + l [mm] \* \vektor{2 \\ 0 \\ 1}?
[/mm]
Das ausmultiplizieren kann ich dann alleine. Und dann noch eine Frage: Wie kann ich dann meine Schnittgerade nach der Richtigkeit überprüfen? Mein Lehrer meinte iwas von "l frei wählen und und gucken ob der ausgerechnete Punkt dann auf E1 liegt" ...nur wie geht das, wenn ich r und s nicht bestimmt habe? ;D
Vielen lieben Dank im Voraus!
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> Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen.
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> [mm]E1:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm] + r [mm]\* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + s [mm]\* \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
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> [mm]E2:\vec{x}=\vektor{2 \\ 3 \\ 2}[/mm] + k [mm]\* \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> + l [mm]\* \vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> Hallo, ich hab zwar eine
> Rechnung für die obige Aufgabe allerdings bin ich mir ihrer
> Richtigkeit so gar nicht sicher. Wäre schön, wenn das mal
> jmd überprüfen kann, der mehr Ahnung hat als ich. Schreibe
> Dienstag eine Klausur über Vektorrechnung!
>
> Meine Rechnung:
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> 1. Ebenen gleichsetzen:
>
> x1: 1 + r + s= 2 + 2l
> x2: s = 3 + k
> x3: 3 = 2 + k + l
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> 2. Sotieren:
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> I. r + s - 2l = 1
> II. s - k = 3
> III. - k - l = -1
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> Die III. Gleichung ergibt ja praktisch umgeformt schon k=
> 1-l womit man ja schon k in Abhängigkeit von l bestimmt
> hätte. Kann ich das nun einfach in die Ebenengleichung 2
> einsetzen?
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> Also [mm]E2:\vec{x}=\vektor{2 \\ 3 \\ 2}[/mm] + (1 - l) [mm]\*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> + l [mm]\* \vektor{2 \\ 0 \\ 1}?[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") mein Rechenprogramm gibt dir recht ;) Sehe auch keine Rechenfehler, also die Schnittgerade stimmt
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> Das ausmultiplizieren kann ich dann alleine. Und dann noch
> eine Frage: Wie kann ich dann meine Schnittgerade nach der
> Richtigkeit überprüfen? Mein Lehrer meinte iwas von "l frei
> wählen und und gucken ob der ausgerechnete Punkt dann auf
> E1 liegt" ...nur wie geht das, wenn ich r und s nicht
> bestimmt habe? ;D
>
> Vielen lieben Dank im Voraus!
Nun was heißt denn Schnittgerade? Es heißt, dass die Gerade ein Teil von beiden Ebenen ist, der sich gleichzeitig in beiden befinden (na wie das klingt), sprich die Gerade muss sowohl in [mm] E_1 [/mm] als auch in [mm] E_2 [/mm] liegen, das kannst du doch überprüfen:
Du hast deine Gerade [mm]g_s=\vektor{2 \\ 4 \\ 3}+\lambda*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm]
Zum Prüfen nehme ich am liebsten die Koordinatengleichung, Normalenform geht auch, Parameter natürlich auch, aber trotzdem
[mm] E_1:z=3
[/mm]
[mm] E_2:x+2y-2z=4
[/mm]
Jetzt einfach einsetzen:
[mm] g_s [/mm] in [mm] E_1:[/mm] [mm]3=3[/mm] Probe stimmt / wahr
[mm] g_s [/mm] in [mm] E_2:[/mm] [mm]2+2\lambda+2*(4-\lambda)-2*(3)=4\gdw2+2\lambda+8-2\lambda-6=4\gdw4=4[/mm] Probe stimmt / wahr
Übrigens ist das nur eine Variante: da du was mit l (bei mir [mm] \lambda) [/mm] haben wolltest, geht es auch so:
Damit [mm] g_s [/mm] Teilmenge von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] sein soll, muss gelten:
1. Richtungsvektor in einer Ebene mit [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2
[/mm]
2. Ortspunkt von [mm] g_s [/mm] muss in [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] liegen
Richtungsvektor von [mm] g_s [/mm] ist [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Dieser Vektor muss in einer Ebene mit [mm] E_1 [/mm] liegen, also aus r* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und s* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] herzustellen sein
2=r+s [mm] \Rightarrow [/mm] r=3
-1=s
0=0
geht
für [mm] E_2
[/mm]
2=2l [mm] \Rightarrowl=1
[/mm]
-1=k
0=k+1l [mm] \Rightarrow [/mm] -1+1=0
Also bildet der Richtungsvektor von [mm] g_s [/mm] mit [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] eine Ebene, liegt also in der selben Ebene. Damit ist 1. erfüllt
Nun Punkt zwei. Der Ortspunkt [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 3} [/mm] muss Teil von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] sein:
für [mm] E_1
[/mm]
2=1+r+s [mm] \Rightarrow [/mm] r=-3
4=s
3=3
geht oder in die Koordinatenform wie oben z=3 also 3=3
für [mm] E_2:
[/mm]
2=2+2l [mm] \Rightarrow [/mm] l=0
4=3+k [mm] \Rightarrow [/mm] k=1
3=2+k+l [mm] \Rightarrow [/mm] 3=2+1=3 wahr
oder in Koordinatenform wie oben 4=4
Wie man sieht, ist die Probe oben mit dem Einsetzen der gesamten Gerade in die Koordinatenform viel einfacher und schneller
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Vielen lieben Dank  Supi!
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