Schnittmenge, Vereinigung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 So 25.10.2009 | | Autor: | az118 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] \bigcup_{n \in N}A_{n}, \bigcap_{n \in N}A_{n} [/mm] für
a.) [mm] A_{n} [/mm] = {x [mm] \in [/mm] Z: [mm] -n\le x\le [/mm] n}
b.) [mm] A_{n} [/mm] = {3n-2, 3n-1}
c.) [mm] A_{n} [/mm] = [mm] {1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...,\bruch{1}{n}} [/mm] |
Hallo, also ich verstehe das irgendwie nicht. wäre nett wenn es mir mal jemand bisschen erklären könnte.?
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Hallo az118!
Hast du wirklich kein Ideen dazu? Einen kleinen Ansatz vielleicht  ?
Also, dir werden hier drei Folgen von Mengen [mm] A_{n} [/mm] definiert, die für jedes n verschieden aussehen. Bei b) zum Beispiel ist
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \{3*1-2, 3*1-1\} [/mm] = [mm] \{1,2\}
[/mm]
die Menge der zwei Elemente 1 und 2,
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] \{3*2-2, 3*2-1\} [/mm] = [mm] \{4,5\}
[/mm]
die Menge der zwei Elemente 4 und 5,
[mm] A_{3} [/mm] = [mm] \{3*3-2, 3*3-1\} [/mm] = [mm] \{7,8\}
[/mm]
die Menge der zwei Elemente 7 und 8.
Du sollst nun jeweils überlegen, was für Mengen entstehen, wenn du [mm] $\bigcup_{n \in \IN}A_{n}$ [/mm] berechnest, also alle Mengen [mm] A_{1}, [/mm] ... , [mm] A_{n}, [/mm] ..., usw. vereinigst.
Oben wäre also der "Anfang" dieser Vereinigung
[mm] $A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3} \cup [/mm] ...$.
Was für eine Menge entsteht?
--> Bei deinem nächsten Post möchte ich sehen, dass du jeweils für n = 1,2,3 die [mm] A_{n} [/mm] der Aufgabenstellungen berechnet hast 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 So 25.10.2009 | | Autor: | az118 |
ok ich hab es jetzt mal versucht.
a.) A1= {-1,0,1}, A2= {-2,-1,0,1,2}, A3= {-3,-2,-1,0,1,2,3}
c.) A1= { [mm] 1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...1 [/mm] }, A2= { [mm] 1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...\bruch{1}{2} [/mm] }, A3= { [mm] 1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...,\bruch{1}{3} [/mm] }
so richtig?
kann ich nun bei der Vereinigung in aufgabe b. schreiben: ={n [mm] \in [/mm] N\ 3n} ??? da ja das Vielfache von n nicht in der Menge liegt?
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Hallo az118,
> a.) A1= {-1,0,1}, A2= {-2,-1,0,1,2}, A3=
> {-3,-2,-1,0,1,2,3}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c.) A1= { [mm] 1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...1 [/mm] }, A2= {
> [mm] 1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...\bruch{1}{2} [/mm] }, A3= {
> [mm] 1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...,\bruch{1}{3} [/mm] }
Warst du hier zu faul, die ersten paar Terme aus der Menge zu entfernen, oder hast du es nicht verstanden?
Richtig wäre:
[mm] $A_1= \{ 1\}$
[/mm]
[mm] $A_2= \{ 1,\bruch{1}{2}\}$
[/mm]
[mm] $A_3= \{ 1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3}\}$
[/mm]
> kann ich nun bei der Vereinigung in aufgabe b. schreiben:
> ={n [mm] \in [/mm] N\ 3n} ??? da ja das Vielfache von n nicht in der
> Menge liegt?
Du hast das Prinzip verstanden. Die Notation ist aber noch verbesserungswürdig:
[mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = [mm] \{n\in\IN| n = 3k-1 \mbox{ oder } n = 3k-2, k\in\IN}$
[/mm]
wäre eine Möglichkeit, das aufzuschreiben, oder
[mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = [mm] \{n\in\IN| 3\not| n}$
[/mm]
Wie sieht's mit dem Schnitt aller Mengen bei b) aus?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 So 25.10.2009 | | Autor: | az118 |
Der Schnitt aller Mengen wäre dann [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = { [mm] \emptyset [/mm] } ???
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Hallo az118,
> Der Schnitt aller Mengen wäre dann
> [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = { [mm] \emptyset [/mm] } ???
Naja, um genau zusein:
[mm] $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
[mm] (\emptyset [/mm] ist schon eine Menge, [mm] \{\emptyset\} [/mm] wäre dann die Menge, die die leere Menge enthält!).
Aber du hast es richtig erkannt: Da schon [mm] $A_{1}\cap A_{2} [/mm] = [mm] \emptyset$, [/mm] dann erst recht [mm] $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 So 25.10.2009 | | Autor: | az118 |
ok danke. ich habe es jetzt nochmal bei a. und c. versucht.
a.) [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] = { [mm] A_{n} [/mm] }
[mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = { [mm] A_{n+1} [/mm] } ???
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Hallo!
Bevor wir die Aufgaben weiter bearbeiten, müssen wir uns noch darauf einigen, ob [mm] \IN [/mm] mit 0 oder mit 1 beginnt, das hat hier ja weitreichende Folgen. Wir haben bis jetzt immer [mm] \IN [/mm] mit 1 beginnen lassen, deswegen machen wir erstmal so weiter.
> a.) [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] = { [mm] A_{n} [/mm] }
Das verstehe ich nicht? Was willst du damit aussagen? Der Schnitt aller [mm] A_{n} [/mm] ist definiert als die Menge der Elemente, die in jedem [mm] A_{n} [/mm] enthalten sind.
Nun solltest du dir klar machen, dass [mm] A_{n} [/mm] mit jedem n mehr Elemente enthält, und insbesondere gilt, dass [mm] $A_{n-1}\subset A_{n}$ [/mm] ist.
Also: Was ist der Schnitt??
> [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = [mm] {A_{n+1} } [/mm]
Auch hier wieder: Was willst du damit ausdrücken?
Auf der rechten Seite dürfen keine Mengen mit [mm] A_{n} [/mm] ausgedrückt werden, weil du alle [mm] A_{n} [/mm] bis $n = [mm] \infty$ [/mm] vereinigst! Es ist also gar nicht klar, was [mm] A_{n} [/mm] sein soll.
Aber die Idee ist gut: Überlege dir doch mal, was [mm] A_{1000} [/mm] ist, was [mm] A_{10000} [/mm] ist. Und mach dir nochmal klar, dass [mm] $A_{n} \subset A_{n+1}$ [/mm] ist.
Was ist die Vereinigung?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 25.10.2009 | | Autor: | az118 |
Also die natürlichen Zahlen beginnen ja immer mit 1 oder?
also ich wollte sagen, dass die Vereinigung z.b. von A1 und A2 = die Menge der Elemente aus A2 ist...weißt du wie ich das meine?
und bei dem schnitt von A1 und A2 = die menge der elemente aus A1 ?
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Hallo az118,
> Also die natürlichen Zahlen beginnen ja immer mit 1 oder?
> also ich wollte sagen, dass die Vereinigung z.b. von A1
> und A2 = die Menge der Elemente aus A2 ist...weißt du wie
> ich das meine?
Ja, das ist richtig.
> und bei dem schnitt von A1 und A2 = die menge der elemente
> aus A1 ?
Das ist auch richtig.
Nun geht es aber nicht nur um [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2}, [/mm] sondern es gibt noch unendlich viele Mengen [mm] A_{n}, [/mm] die danach kommen. Versuche deine Folgerungen auf die Vereinigung und den Schnitt dieser Mengen zu übertragen, wenn du [mm] A_{1} [/mm] bis [mm] "A_{\infty} [/mm] " vereinigst / schneidest.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 So 25.10.2009 | | Autor: | az118 |
Also ich komm da nicht drauf, wie ich es anders schreiben kann?
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Hallo!
a)
Es ist [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} [/mm] = [mm] \IZ$. [/mm] Das erkennst du daran, dass eben symbolisch gemeint [mm] A_{\infty} [/mm] = [mm] \{-\infty,...,\infty\} [/mm] ist.
Es ist außerdem [mm] $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} [/mm] = [mm] \{-1,0,1\}$, [/mm] weil nur diese Zahlen in allen [mm] A_{n} [/mm] enthalten sind (d.h. insbesondere in [mm] A_{1} [/mm] = [mm] \{-1,0,1\} [/mm] ).
Lass dir das mal durch den Kopf gehen!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 So 25.10.2009 | | Autor: | az118 |
ok dann hab ich jetzt bei c.) [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = { 1 }
[mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] = {x [mm] \in [/mm] R: [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1} ???
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Hallo!
> ok dann hab ich jetzt bei c.) [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] =
> { 1 }
Das ist richtig !
> [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] = {x [mm] \in [/mm] R: [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1} ???
Das leider nicht. Auch hier gilt ja wieder: [mm] $A_{n}\subset A_{n+1}$, [/mm] d.h. du musst dir im Grunde nur überlegen, wie " [mm] A_{\infty} [/mm] " aussieht.
Und das sieht so aus:
[mm] $A_{\infty} [/mm] = [mm] \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{1000},...\right\}$
[/mm]
Aber: Es sind nicht alle Zahlen zwischen 0 und 1, wie du behauptest. Man sieht zum Beispiel relativ schnell, dass [mm] \frac{3}{4} [/mm] nicht in der Vereinigung aller [mm] A_{n} [/mm] enthalten sind.
Du solltest es so formulieren:
[mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = [mm] \left\{\frac{1}{n}\Big|n\in\IN\right\}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 So 25.10.2009 | | Autor: | az118 |
Ok dankeschön...ist nicht so leicht mit mir :)
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