matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare GleichungssystemeSchnittmenge von 4 Ebenen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Schnittmenge von 4 Ebenen
Schnittmenge von 4 Ebenen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Schnittmenge von 4 Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Sa 15.12.2007
Autor: sabsirro

Aufgabe
Bestimmen sie die Schnittmenge der Ebenen in Abhängigkeit von den Parametern a,b (Element) R

E1:  x - 2y + 3z = 5
E2: 2x + y + 4z = 3
E3: 4x - 3y +az = 13
E4: x + 3y + z = b

Hallo

Wie muss ich hier ansetzen um auf eine Lösung zu kommen?
Könnte mir das vll auch mal jemand beispielhaft lösen und erklären?
Das wäre sehr nett.


Mein Lösungsansatz war hier:
1. Ich wollte schauen dass ich, wenn ich 2 Gleichungen miteinander
    kombiniere eine Variable rausschmeisse.
2. Für eine der verbleibenden Variablen setze ich zB.: [mm] \lambda [/mm] und löse das ganze dann nach der anderen Variable auf.
3. Einsetzen der ausgerechneten Variablen in eine der Gleichungen...fertig.

Das ist ja der Lösungsweg wie man normalerweise 2 Ebenen miteinander schneidet. Ich weiss aber nicht wie das genau mit den Parametern a,b gehen soll. Und wie ich diesen Weg mit 4 Ebenen gehen soll.

MfG Sab.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Schnittmenge von 4 Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 So 16.12.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

[willkommenmr].

Du hast hier ein lineares Gleichunggsystem vorliegen, welches aus 4 Gleichungen mit den drei Variablen x,y,z besteht.

Bei Deinen Rechnungen behandle a und b so, als stünden dort irgendwelche Zahlen.
Die Variablen, nach denen aufzuösen ist, sind x,y,z.

Während Deiner Rechnungen mußt Du aufpassen, daß Du nicht durch Null dividierst.
Wenn Du z.B. durch a-5 dividierst, mußt Du notieren "für [mm] a\not=5", [/mm] der Fall a=5 ist dann anschließend gesondert zu untersuchen.

Wenn Du mit diesen Hinweisen nicht zum Ziel kommst, solltest Du mal vorrechnen, da sieht man dann, was Du kannst - das ist Deinem Profil nicht zu entnehmen.

Am bequemsten ist es hier sicher, wenn man mit dem Gauß-Algorithmus die dem GS entsprechende Matrix auf Zeilenstufenform bringt.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Schnittmenge von 4 Ebenen: Auflösung des G.S nach Gauß
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 So 16.12.2007
Autor: sabsirro

1 -2 3 5 | mal (-2) + die 2.Zeile, mal (-4) + die 3. , mal (-1) + die 4.
2 1 4 3
4 -3 +a 13
1 3 1 b

ergibt:

1 -2 3 5
0 5 -2 -7  | mal (-1) + die 3. , mal (-1) + die 4.
0 5 (-12+a) -7
0 5 -2 (-5+b)

ergibt die Stufenform:

1 -2 3 5
0 5 -2 -7
0 0 (-10+a) 0
0 0 0 (-2 + b)

Doch was soll ich damit jetzt anfangen? Wie kann ich daraus eine Schnittmenge in Abhängigkeit der beiden Parameter entnehmen?

EDIT:

Heisst das jetzt etwa...:

Wenn a= 10 und b= 2 dann gibt es unendlich viele lösugen und die Ebenen sind identisch?

Wenn sie etwas anderes sind bekomme ich überhaupt keine Lösung da dann die beiden unteren Aussagen falsch sind?

Oder gibt es auch noch andere möglichkeiten für a,b so dass sich etwas ergibt?

MfG Sab.

Bezug
                        
Bezug
Schnittmenge von 4 Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 So 16.12.2007
Autor: angela.h.b.


> 1 -2 3 5 | mal (-2) + die 2.Zeile, mal (-4) + die 3. , mal
> (-1) + die 4.
>  2 1 4 3
> 4 -3 +a 13
>  1 3 1 b
>  
> ergibt:
>  
> 1 -2 3 5
>  0 5 -2 -7  | mal (-1) + die 3. , mal (-1) + die 4.
>  0 5 (-12+a) -7
>  0 5 -2 (-5+b)
>  
> ergibt die Stufenform:
>  
> 1 -2 3 5
>  0 5 -2 -7
>  0 0 (-10+a) 0
>  0 0 0 (-2 + b)

Hallo,

an der letzten Position muß es 2+b bzw. -2-b heißen.

>  
> Doch was soll ich damit jetzt anfangen? Wie kann ich daraus
> eine Schnittmenge in Abhängigkeit der beiden Parameter
> entnehmen?
>  
> EDIT:
>  
> Heisst das jetzt etwa...:

Zunächst einmal stellt man fest: für [mm] b\not=-2 [/mm] gibt es überhaupt keine Lösung, denn hier ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ungleich dme Range der Koeffizientenmatrix.

Für b=-2 ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix gleich dem Range der Koeffizientenmatrix, also gibt es in diesem Fall (mindestens) eine Lösung.

Sei b=-2, dann hat man

1 -2 3  |5
0 5 -2  |-7
0 0 (-10+a)  |0
0 0 0  |0

Schaut man nun die vorletze Zeile an, so sieht man:

>  
> Wenn a= 10

ist der Rang der Koeffizientenmatrix =2, das Schnittgebilde hat also die Dimension 1, ist also eine Gerade, deren Gleichung noch zu bestimmen ist.

Für [mm] a\not=10 [/mm] ist der Rang der Koeffizientenmatrix =3, das Schnittgebilde ist ein Punkt.

Ich verstehe die Aufgabe so, daß Du nun auch noch die Gleichung der Schnittgeraden bzw. die Koordinaten des Punktes angeben sollst.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Schnittmenge von 4 Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 So 16.12.2007
Autor: sabsirro

Wie komme ich dann auf die Gleichung der Geraden?

ist das dann die Gerade mit der Steigung z= a/10 ?

MfG Sab.

Bezug
                                        
Bezug
Schnittmenge von 4 Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 So 16.12.2007
Autor: angela.h.b.


> Wie komme ich dann auf die Gleichung der Geraden?
>  
> ist das dann die Gerade mit der Steigung z= a/10 ?

Mit der Steigung 1? Ich denke nicht.

Du hast für a=10 und b=-2

1 -2 3 |5
0 5 -2 |-7
0 0 0 |0
0 0 0 |0,

und diese GS mußt Du lösen.

Der Rang =2, Du kannst also 3-2=1 Parameter frei ählen, etwa

[mm] z=\lambda. [/mm]

Dann ist

y=...
x=...,

also

[mm] \vektor{x \\ y\\z}= \vektor{ \\ \\ } [/mm] + [mm] \lambda \vektor{ \\ \\ }, [/mm] und damit hast Du dann die Parameterform  der schnittgeraden.

Gruß v. Angela

Bezug
                                                
Bezug
Schnittmenge von 4 Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:58 So 16.12.2007
Autor: sabsirro

Tut mir leid das verstehe ich nicht. Ich weiss nicht was du mit diesen Rängen meinst und wie man darauf kommt was für Werte man frei wählen darf. Zudem welche beiden G.S muss ich dann lösen? Die ersten beiden? Und wie komme ich auf die Form die du unten angegeben hast?

EDIT:

Ich habe es versucht so zu rechenen und habe glaube ich eine Lösung bekommen. Ist nur die Frage ob es so richtig ist.

[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{21/5 \\ -7/5 \\0} [/mm] * t [mm] \vektor{-19/5 \\ -2/5 \\ 1} [/mm]

MfG Sab.



MfG Sab.

Bezug
                                                        
Bezug
Schnittmenge von 4 Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Mo 17.12.2007
Autor: angela.h.b.


> Ich habe es versucht so zu rechenen und habe glaube ich
> eine Lösung bekommen. Ist nur die Frage ob es so richtig
> ist.

Hallo,

Deine Lösung sieht so aus, als hättest Du verstanden, was zu tun ist. Daß sie dennoch nicht ganz richtig ist, scheint mir lediglich an einem Rechenfehler zu liegen, ein Vorzeichenfehler vielleicht.

Gruß v. Angela

>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{21/5 \\ -7/5 \\0}[/mm] * t
> [mm]\vektor{-19/5 \\ -2/5 \\ 1}[/mm]


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]