Schnittpkt. mit Einheitskreis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Do 03.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | Es sei K der Einheitskreis in der reellen Zahlenebene gegeben durch
[mm] K = \left\{ {x \choose y} \in \IR^2 \left| x^2 + y^2 = 1 \right\}[/mm]
Weiter sei [mm] P = {1 \choose -2} \in \IR^2 [/mm]. Zeigen Sie, dass es genau zwei Geraden durch Punkt P gibt, die K in genau einem Punkt schneiden. Bestimmen Sie diese beiden Geraden sowie ihren jeweiligen Schnittpunkt mit K. Veranschaulichen Sie sich die Problemstellung zunächst mit einer Skizze. |
Zum Gruße!
Okay, das ganze sieht nciht schwer aus: Kreis gemalt, Punkt gemalt, Striche gemalt und schon hat man ein Männchen mit Partyhut ; )
Aber ernsthaft jetzt, die Skizze ist nciht das Problem, kann man sich ja gut vorstellen.
Ich hab mir gedacht, wenn ich einen festen Punkt (P) habe, ist das schonmal mein Ausgangspunkt für die Geraden. Richtungsvektor hab ich gegeben durch den Einheitskreis: [mm]{ x \choose \wurzel{1-x^2} } , 0 \le x \le 1[/mm] Kann das überhaupt als Punkt auf dem Einheitskreis genommen werden? Oder hab ich da schon Denkfehler drin?
Falls man damit nämlich die Geraden hätte, die sich mit dem Kreis schneiden, könnte man genauso die Radien des Kreises, als Geraden sehen. Und die Schnittpunkte lassen sich dann errechnen. Richtungsvektorene multiplizieren und mit -1 gleichsetzen...
Guten Abend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:58 Do 03.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 Möglichkeitn: a) du machst ne Zeichnung. in einem Punkt schneiden heisst Tangente.
a)nun du kennst die Gleichung der Tangente an einen Kreis, im Punkt [mm] /x_t,y_t) [/mm] setz da den Punkt ein und bestimme [mm] (x_t,y_t= [/mm]
b) du kennst ihn nicht leg ne gerade surch P beliebige Steigung m, schneide mt dem Kreis. i.A sind das 2 Lösungen, bestimme m so, dass es nur eine gibt.
c) die beiden Punkte liegen auf dem Thaleskreis über MP.
d) du siehst aus der Zeichnung die eine Gerade, weil [mm] x_P=1
[/mm]
MP halbiert den winkel zwischen den 2 Geraden.
Nun such dir das aus, was du am besten kannst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Do 03.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Also das was ich mir da zusammengereimt hab ist totaler Blödsinn? Schade, ich mag die Idee nämlich eigentlich.
Ich hab mir bei der guten alten Wikipedia mal den thaleskreis angesehen und mich tatsächlich auch dran erinnert. Das Bild was dort zu finden ist, ist ja genau meine Problemstellung. Allerdings bin ich unfähig es zu rechnen. Zeichnen, vorstellen, nachvollziehen - alles simpel. Nur eine konkrete Rechnung will irgendwie nicht, dabei hatte ich Geometrie in der Schule immer so gern : /
Ist es übrigens wirklich okay, wenn ich einfach sage, dass der eine Schnittpunkt sich ergibt, weil K einen Radius von 1 hat und P bei (1|-2) liegt? Das klingt so einfach, dass es nciht stimmen kann ^^
Liebe Grüße
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Hallo Fincayra,
> Also das was ich mir da zusammengereimt hab ist totaler
> Blödsinn? Schade, ich mag die Idee nämlich eigentlich.
Die Idee an sich war ok, aber die Ausführung nicht. Der Richtungsvektor ist natürlich nicht durch den Ortsvektor eines Punktes auf dem Kreis gegeben (sonst könntest Du ja von P aus in jede beliebige Richtung laufen), sondern durch die Differenz dieses Ortsvektors und dessen von P. Dann klappts auch auf Deinem Weg.
> Ich hab mir bei der guten alten Wikipedia mal den
> thaleskreis angesehen und mich tatsächlich auch dran
> erinnert. Das Bild was dort zu finden ist, ist ja genau
> meine Problemstellung. Allerdings bin ich unfähig es zu
> rechnen. Zeichnen, vorstellen, nachvollziehen - alles
> simpel. Nur eine konkrete Rechnung will irgendwie nicht,
> dabei hatte ich Geometrie in der Schule immer so gern : /
Wenn T der gesuchte Berührpunkt ist, dann gilt (Pythagoras und Thales)
[mm] 1^2+|\overline{TP}|^2=|\overline{MP}|^2
[/mm]
> Ist es übrigens wirklich okay, wenn ich einfach sage,
> dass der eine Schnittpunkt sich ergibt, weil K einen Radius
> von 1 hat und P bei (1|-2) liegt? Das klingt so einfach,
> dass es nciht stimmen kann ^^
Nein, das ist schlicht falsch. Rechne mal oben weiter, oder nimm eine der anderen von leduart vorgeschlagenen Möglichkeiten. Jede davon führt zum Ziel.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 03.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi reverend
Danke für die schnelle Antwort : )
> Die Idee an sich war ok, aber die Ausführung nicht. Der
> Richtungsvektor ist natürlich nicht durch den Ortsvektor
> eines Punktes auf dem Kreis gegeben (sonst könntest Du ja
> von P aus in jede beliebige Richtung laufen), sondern durch
> die Differenz dieses Ortsvektors und dessen von P. Dann
> klappts auch auf Deinem Weg.
Ja, schon klar, das meine ich ja auch. Die Frage ist nur, habe ich die richtigen Zahlen? Weil ich bekomm da alles mögliche raus, aber noch nichts, das funktioniert hat : (
> Wenn T der gesuchte Berührpunkt ist, dann gilt (Pythagoras
> und Thales)
>
> [mm]1^2+|\overline{TP}|^2=|\overline{MP}|^2[/mm]
Ya aber... dann hab ich eine Strecke und keinen Punkt? Oo
> Rechne mal oben weiter, oder
> nimm eine der anderen von leduart vorgeschlagenen
> Möglichkeiten. Jede davon führt zum Ziel.
Ehrlich gesagt hab ich nicht wirklich verstanden, was er schrieb, sondern hab einfach mal Stichpunkte nachgeguckt (den Thaleskreis z.B.).
Aber wenn meine erste Idee funktioniert, mag ich damit weiter rechnen. Da weiß ich wenigstens was ich vorhatte. Ich muss nur noch rausfinden, was das richtige x ist : )
Dann mag ich aber Fragen, ob ich die richtigen Geraden habe.
[mm]\vektor{1\\-2} +r \vektor{ x-1 \\ \wurzel{1-x^2} +2} , 0 \le x \le 1 [/mm] für die Geraden, die den Kreis schneiden und [mm]\vektor{0\\0} +s \vektor{ x \\ \wurzel{1-x^2}} , 0 \le x \le 1 [/mm] für die Radien. Kommt das hin?
Ich setze dann NUR die Richtungsvektoren gleich, also ohne r und s, die brauch ich erst für die Schnittpunkte. Für x muss ich zwei Werte rausbekommen, wobei der erste Wert 1 sein muss, damit ich eine parallele zur y Achse bekomme, weil der eine Schnittpunkt muss bei (1|0) sein. Das sieht man ja wohl schon auf einer Skizze, aye?
Bitte sagt mir nur ob das richtig gedacht ist. Dann bin ich motiviert weiter zu rechnen. Alles andere löst in meinen verschnupften Gehirnwindungen nur wieder Verwirrung hervor ; ) Außer es ist falsch. Dann geh ich schlafen und versuche es morgen nochmal ^^
Liebe Grüße
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Hallo nochmal,
> > Die Idee an sich war ok, aber die Ausführung nicht. Der
> > Richtungsvektor ist natürlich nicht durch den Ortsvektor
> > eines Punktes auf dem Kreis gegeben (sonst könntest Du ja
> > von P aus in jede beliebige Richtung laufen), sondern durch
> > die Differenz dieses Ortsvektors und dessen von P. Dann
> > klappts auch auf Deinem Weg.
>
> Ja, schon klar, das meine ich ja auch. Die Frage ist nur,
> habe ich die richtigen Zahlen? Weil ich bekomm da alles
> mögliche raus, aber noch nichts, das funktioniert hat : (
Schaun wir mal.
> > Wenn T der gesuchte Berührpunkt ist, dann gilt (Pythagoras
> > und Thales)
> >
> > [mm]1^2+|\overline{TP}|^2=|\overline{MP}|^2[/mm]
>
> Ya aber... dann hab ich eine Strecke und keinen Punkt? Oo
Na, aber ohne den Punkt kannst Du die Strecke ja nicht ermitteln. Also bekommst Du auch den Punkt.
> > Rechne mal oben weiter, oder
> > nimm eine der anderen von leduart vorgeschlagenen
> > Möglichkeiten. Jede davon führt zum Ziel.
>
> Ehrlich gesagt hab ich nicht wirklich verstanden, was er
> schrieb, sondern hab einfach mal Stichpunkte nachgeguckt
> (den Thaleskreis z.B.).
Aha.
> Aber wenn meine erste Idee funktioniert, mag ich damit
> weiter rechnen. Da weiß ich wenigstens was ich vorhatte.
> Ich muss nur noch rausfinden, was das richtige x ist : )
> Dann mag ich aber Fragen, ob ich die richtigen Geraden
> habe.
> [mm]\vektor{1\\
-2} +r \vektor{ x-1 \\
\wurzel{1-x^2} +2} , 0 \le x \le 1[/mm]
> für die Geraden, die den Kreis schneiden
Im Prinzip ok, aber es gilt [mm] -1\le x\le{1}.
[/mm]
> und [mm]\vektor{0\\
0} +s \vektor{ x \\
\wurzel{1-x^2}} , 0 \le x \le 1[/mm]
> für die Radien. Kommt das hin?
Für x wieder wie oben. Sonst ok.
> Ich setze dann NUR die Richtungsvektoren gleich, also ohne
> r und s, die brauch ich erst für die Schnittpunkte. Für x
> muss ich zwei Werte rausbekommen, wobei der erste Wert 1
> sein muss, damit ich eine parallele zur y Achse bekomme,
> weil der eine Schnittpunkt muss bei (1|0) sein. Das sieht
> man ja wohl schon auf einer Skizze, aye?
Ja, da sieht man aber auch, dass die Richtungsvektoren nicht gleich (kollinear) den Radien sind, sondern senkrecht zueinander stehen müssen. Das kann man ja mit einer einfachen Rechenoperation prüfen.
> Bitte sagt mir nur ob das richtig gedacht ist. Dann bin ich
> motiviert weiter zu rechnen. Alles andere löst in meinen
> verschnupften Gehirnwindungen nur wieder Verwirrung hervor
> ; ) Außer es ist falsch. Dann geh ich schlafen und
> versuche es morgen nochmal ^^
Och, Schnupfen schlägt nicht aufs Gehirn. Ich hab gerade zwei Weisheitszähne rausoperiert bekommen, aber der Kopf scheint noch zu funktionieren, auch wenn er weh tut...
Trotzdem gute Besserung! Ich bin nicht mal sicher, ob ich gerade gegen eine Erkältung tauschen möchte. Zusätzlich brauche ich sie aber sicher nicht. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Do 03.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Huhu
> > Ich setze dann NUR die Richtungsvektoren gleich, also ohne
> > r und s, die brauch ich erst für die Schnittpunkte. Für x
> > muss ich zwei Werte rausbekommen, wobei der erste Wert 1
> > sein muss, damit ich eine parallele zur y Achse bekomme,
> > weil der eine Schnittpunkt muss bei (1|0) sein. Das sieht
> > man ja wohl schon auf einer Skizze, aye?
>
> Ja, da sieht man aber auch, dass die Richtungsvektoren nicht gleich
> (kollinear) den Radien sind, sondern senkrecht zueinander stehen
> müssen. Das kann man ja mit einer einfachen Rechenoperation prüfen.
Ehm ja *räusper* ich meine auch Richtungsvektor * Richtungsvektor = -1 Dann sind sie ja rechtwinklig. ([mm]-1 \le x \le 1[/mm] stimmt natürlich auch.) Als Gleichung hätte ich dann stehen: [mm](x-1)*x + (\wurzel{1-x^2} +2)*\wurzel{1-x^2}=-1 [/mm] Und das nach x auflösen.
> Och, Schnupfen schlägt nicht aufs Gehirn. Ich hab gerade zwei
> Weisheitszähne rausoperiert bekommen, aber der Kopf scheint noch zu
> funktionieren, auch wenn er weh tut...
> Trotzdem gute Besserung! Ich bin nicht mal sicher, ob ich gerade gegen
> eine Erkältung tauschen möchte. Zusätzlich brauche ich sie aber sicher
> nicht.
Danke, dir auch gute Besserung : ) Tauschen mag ich nicht, weil ich beim rechnen immer am naschen bin und das geht mit einer schmerzenden Wange so schlecht, außerdem hab ich keine Weisheitszähne mehr zum hergeben ^^ Und direkt aufs Gehirn schlagen tut der Schnupfen nicht, aber er sorgt dafür, dass der Kopf sagt "Nööö, mag nicht, mach das später!" ; )
Lieben Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Do 03.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
genau dann wenn [mm] \vec{a}*\vec{b}=0 [/mm] ist, stehen [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] senkrecht aufeinander.
> Und direkt aufs
> Gehirn schlagen tut der Schnupfen nicht, aber er sorgt
> dafür, dass der Kopf sagt "Nööö, mag nicht, mach das
> später!" ; )
Meiner sagt gerade eher "Lenk mich ab!".
Und danke für die Besserungswünsche. Wird schon.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
> genau dann wenn [mm]\vec{a}*\vec{b}=0[/mm] ist, stehen [mm]\vec{a}, \vec{b}[/mm]
> senkrecht aufeinander.
Nee, oder? Hab ich mcih jetzt die ganze Zeit mit falschen Zahlen gequält, weil ich das falsch anchgeguckt hab? D= Warum 0? Warum nciht -1? Warum warum WARUUUMM ? :'(
Grausame Welt... ich geh das ncohmal rechnen. wennd as richtige rauskommt, schau ich meine Mathezettel böse an und geh ins Bett : (
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Tja, mit 0 stimmt der erste Wert, aber der zweite ist immer noch sinnfrei. Ich mag nicht mehr... das ist doch zum Mäusemelken -.-
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moin Fincayra,
Ich geh jetzt nicht ganz direkt auf deine Idee ein, deshalb das hier nur als Mitteilung:
Du bildest Geraden, die deinen Punkt enthalten, und guckst, in welchem Fall diese den Kreis nur einmal schneiden.
Da du damit noch ein paar Probleme zu haben scheinst könntest du es vielleicht mal anders herum probieren:
Die Geraden, die den Kreis in genau einem Punkt berühren, sind gerade die Tangenten.
Wenn du also einen Punkt (x,y) bzw. [mm] (x,$\sqrt{1-x^2}$) [/mm] auf dem Kreis hast so kannst du sofort die Tangente in diesem Punkt angeben, denn diese muss senkrecht auf den Vektor (x,y) stehen.
Damit hast du dann alle Geraden, die den Kreis in genau einem Punkt berühren und müsstest dann zeigen dass es genau zwei solche Geraden gibt, die zusätzlich noch den Punkt P enthalten.
Wenn du auf deinem Weg gut weiterkommst kannst du dort natürlich bleiben, aber falls du nicht weiter kommst würde es vielleicht auch so klappen. ;)
lg
Schadow
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Ich bin schon wieder verwirrt. Es wird wohl wieder Zeit zum Kissen-kuscheln ^^
Ich hab gerade versucht mit dem Kreispunkt und P eine Gerade zu bilden. Da kommt etwas unschönes raus. Allerdings hätte ich ja dann auch ALLE Geraden, also ein "ausgemaltes Hütchen".
> denn diese muss senkrecht auf den Vektor (x,y) stehen.
Ya.... ich glaub an dem Stück hängts grad in meinem Kopf. (x,y) ist mein Kreispunkt, aye? Und wenn da was rechtwinklig zu stehen soll.... ähhhhhh...... Blockade im Kopf.
Ich brauch ne Runde Schlaf, aber kann nciht schlafen, weil mir dann wieder stundelang Gleichungen im Kopf schwirren. Mathe macht müde : (
verzweifelnde Grüße
Fin
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Hallo nochmal,
also falls Du vor Schlaflosigkeit hier nochmal reinschaust...
Das zu untersuchende Produkt der Richtungsvektoren war doch dies:
[mm] \vektor{x-1\\ \wurzel{1-x^2}+2}*\vektor{x\\ \wurzel{1-x^2}}=x^2-x+1-x^2+2\wurzel{1-x^2}=-x+1+2\wurzel{1-x^2}
[/mm]
Das soll nun Null werden, also
[mm] -x+1+2\wurzel{1-x^2}=0\quad \Rightarrow\quad x-1=2\wurzel{1-x^2} [/mm]
[mm] \Rightarrow x^2-2x+1=4-4x^2\quad\Rightarrow\quad 5x^2-2x-3=0
[/mm]
Das hat die Lösungen [mm] x_{1/2}=\bruch{1}{5}\pm\wurzel{\bruch{1}{25}+\bruch{3}{5}}=\bruch{1}{5}(1\pm{4})
[/mm]
Davon ist nun [mm] x_1=1 [/mm] eine Lösung (also der Punkt (1;0)), [mm] x_2=-\bruch{3}{5} [/mm] aber nicht.
Die zweite existierende Lösung bekommst Du hier deswegen nicht, weil Dein "allgemeiner" Punkt auf dem oberen Halbkreis liegt, der aber nur die eine Lösung beinhaltet (und das auch noch ganz an einem Ende).
Mit dem Ansatz des Punktes als [mm] \vektor{x\\-\wurzel{1-x^2}} [/mm] bekämst Du hier direkt beide Lösungen.
Die noch fehlende Lösung ist der Punkt [mm] \left(-\bruch{3}{5};-\bruch{4}{5}\right). [/mm] Das habe ich jetzt allerdings nicht mehr gerechnet, sondern aus Symmetrieüberlegungen hergeleitet. Hoffentlich richtig.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:52 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hach, ihr seid echte Schätze hier. Das mit dem - vor der Wurzel...da ärger ich mcih schon Jahre drüber, weil ich es immer vergesse und es mich dann in solchen Aufgaben wahnsinnig macht. Das mit der Symmetrie hab ich mir gedacht, ist mit meiner katastrophelen Skizze leider nicht belegbar gewesen. Aber wenn du sagst, dass das so ist, bin ich glücklich. Ich rechne das dann morgen früh in der Vorlesung mal durch, dann schlaf ich wenigstens nicht ein (müüüüde! Aber immerhin ist Mathe an der Müdigkeit Schuld, da wird es ja okay, sein, wenn ich in der Mathevorlesung mich mit der Matheübung wach halte, weil eben diese Schuld ist das ich müde bin =D ) .... Also, ich wünsch euch ncoh eine angenehme Nahct und vielen Dank für die Hilfe : )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Huhu
Also, falls es interessiert: Ich hab es jetzt durchgerechnet und habe für die negative Wurzel, genau das selbe raus, wie für die positive Wurzel (irgendwo in der Rechnung ist eine binomische Formel, durch die die Vorzeichen alle wieder gleich sind.)
Was ich jetzt nicht ganz verstehe (ist mir grad aber auch relativ egal, denn es funktioniert und auf dem Übungszettel sind ncoh andere Aufgaben ; ) ), wenn ich die erhaltenen Werte 1 und -3/5 in die Gleichung der Geraden einsetze, kommt nur ein sinniges Ergebnis für x=1 raus. Setze ich die Werte aber in die Gleichung der Radien ein, gibt es für beide Werte schöne Ergebnisse.
Lieben Gruß und danke ncohmal für die Hilfe : )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Fr 04.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
so bei Tag sollte doch alles ein bisschen besser aussehen, nicht?
> Also, falls es interessiert: Ich hab es jetzt
> durchgerechnet und habe für die negative Wurzel, genau das
> selbe raus, wie für die positive Wurzel (irgendwo in der
> Rechnung ist eine binomische Formel, durch die die
> Vorzeichen alle wieder gleich sind.)
Jaaa...
> Was ich jetzt nicht ganz verstehe (ist mir grad aber auch
> relativ egal, denn es funktioniert und auf dem
> Übungszettel sind ncoh andere Aufgaben ; ) ), wenn ich die
> erhaltenen Werte 1 und -3/5 in die Gleichung der Geraden
> einsetze, kommt nur ein sinniges Ergebnis für x=1 raus.
> Setze ich die Werte aber in die Gleichung der Radien ein,
> gibt es für beide Werte schöne Ergebnisse.
Das ist doch geometrisch sinnvoll. Überleg Dir mal, wie die "Radiengleichungen" x auf y abbilden.
> Lieben Gruß und danke ncohmal für die Hilfe : )
lg
rev
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