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Schnittpunkt: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Mo 21.01.2019
Autor: Mathilda1

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion [mm] fa(x)=x^3+ax^2+(a-1)x [/mm]
Zeigen Sie, dass die Graphen von fa zwei Punkte gemeinsam haben.

Ich habe als gemeinsame Punkte P(0l0) und P(-1l0) ermittelt, aber durch Probieren.
Kann mir noch mal jemand erklären wie ich es mit a1 und a2 lösen könnte. Das verstehe ich nicht so richtig, ich bleibe immer hängen und komme so auf keine Lösung.
Vielen Dank

        
Bezug
Schnittpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Mo 21.01.2019
Autor: fred97


> Gegeben ist die Funktion [mm]fa(x)=x^3+ax^2+(a-1)x[/mm]
>  Zeigen Sie, dass die Graphen von fa zwei Punkte gemeinsam
> haben.
>  Ich habe als gemeinsame Punkte P(0l0) und P(-1l0)
> ermittelt, aber durch Probieren.
>  Kann mir noch mal jemand erklären wie ich es mit a1 und
> a2 lösen könnte. Das verstehe ich nicht so richtig, ich
> bleibe immer hängen und komme so auf keine Lösung.
>  Vielen Dank


Statt [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] schreibe ich a und b. Wir betrachten also die Gleichung

[mm] f_a(x)=f_b(x), [/mm] wobei wir a [mm] \ne [/mm] b annehmen.

Diese Gleichung ist gleichbedeutend mit

[mm] x^3+ax^2+(a-1)x=x^3+ bx^2+(b-1)x. [/mm]

[mm] x^3 [/mm] hebt sich weg und wenn wir alles was rechts steht nach links bringen , bekommen wir

[mm] (a-b)x^2+(a-1-(b-1))x=0. [/mm]

Das lässt sich vereinfachen zu

[mm] (a-b)x^2+(a-b)x=0. [/mm]

Da a [mm] \ne [/mm] b ist , erhalten wir

[mm] x^2+x=0 [/mm] .

Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen [mm] x_1=0 [/mm] , [mm] x_2=-1. [/mm]

Wegen [mm] f_a(0)=0 [/mm] und [mm] f_a(-1)=0 [/mm] ergibt das die Punkte P(0|0) und Q(-1|0).



Bezug
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