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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Sa 26.04.2008 | | Autor: | moiki |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Schnittpunkt und -Winkel der Ebene E und der Geraden G
[mm] G=\vektor{1 \\2\\3}+\lambda [/mm] g* [mm] \vektor{-1\\0\\1};
[/mm]
E= [mm] \vektor{-1\\0\\0}*(x- \vektor{-1\\3\\0})=0 [/mm] |
Mir geht es um den Schnittpunkt,
ich Forme die Ebene um:
in die Koordinatendarstellung:
[mm] \vektor{-1\\3\\0}+\lambda [/mm] e [mm] \vektor{0\\1\\2}+\mu \vektor{0\\2\\1}
[/mm]
1.Stimmt das so? Ich habe für die Richtungsvektoren Vektoren gesucht
2. Beim Gleichsetzen von Ebene und Gerade [mm] \vektor{1 \\2\\3}+\lambda [/mm] g * [mm] \vektor{-1\\0\\1}=\vektor{-1\\3\\0}+\lambda [/mm] e [mm] \vektor{0\\1\\2}+\mu \vektor{0\\2\\1}
[/mm]
bekomme ich für kg=2 raus
das in die geradengleichung eingesetzt ergibt den schnittpunkt (-1,2,5)
Bei den Ergebnissen für k1 und k1 bekomme ich jedoch -7/3 und 7/3 raus, diese in die Ebenengleichung eingesetzt egeben einen falschen Wert.
Was mach ich falsch, kann jemand mal nachrechnen und mir das richtige Ergebnis sagen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Sa 26.04.2008 | | Autor: | moiki |
Anmerkung: ich erst später die griechischen Buchstaben entdeckt, vorher hatte ich die variablen kg, k1 und k2 genannt und das unten im text nicht geändert, hoffe man blickt so trotzdem durch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ja, deine erste Frage kannst du ja selbst beantworten, indem du das Vektorprodukt/ Kreuzprodukt deiner beiden Richtungsvektoren bildest.
Dieses ist [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\0}, [/mm] also ein Vielfaches deines Normalenvektors.
Damit ist deine Koordinatengleichung korrekt.
Bei der Rechnung:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] r*\vektor{-1 \\ 0 \\1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\0} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ 2 \\1}
[/mm]
erhalte ich t= [mm] -\bruch{7}{3}, s=\bruch{11}{3} [/mm] sowie r=2
[mm] \overrightarrow{OX}_{g}(2)= \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + 2 * [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\1}
[/mm]
= [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 5} [/mm]
So "ohne deinen Rechenweg", kann ich leider nur raten, was du falsch gemacht hast.
Ich nehme an, dass du dich mit "k1" da nur ein wenig verschrieben hast und nicht einen Parameter in beien Gleichungen hast; insgesamt benötigst du 3.
Wahrscheinlich ein Fehler im Lösen des Gleichungssystemes oder du hast einfach am Ende die Parameter durcheinandergewürfelt.
Wenn du die Rechnung postest, schaue ich auch gerne nochmal drüber.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Sa 26.04.2008 | | Autor: | moiki |
Vielen Dank für deine Bemühung! Ich habs!
Hatte bei den 7/3 schon quasi aufgehört, weil ich dachte, das passt sowieso nicht, dachte damit komm ich doch sowieso nicht mehr zu dem Schnittpunkt, aber es passt habs grad mal eingesetzt.
Also beim nächsten mal rechne ich konsequent zuende, der Anfang hat ja gestimmt!
Danke nochmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 26.04.2008 | | Autor: | moiki |
| Aufgabe | Bestimmen Sie einen Punkt P(px,py,pz), der von der Ebene E den Abstand [mm] dE=\wurzel{3} [/mm] und von der Geraden den Abstand dg=1 aufweist.Geben Sie den Wert von px möglichst einfach vor!
E: x+y+z=1
G: [mm] x=\vektor{-1\\2\\0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0\\-1\\0} [/mm] |
Hier finde ich leider nichtmal einen Ansatz!
Weiß jemand wie man das macht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
alle Punkte, die von der Ebene den Abstand d haben, leigen auf einer paralleln Ebene zu deiner Ebene, die den Abstand d zueiandner haben. Das solltest du berechnen können (die Hesse'sche Normalform sollte da helfen).
Dann Nimmst du dir einen allgeminen Punkt, berechnest Abstand Gerade Ebene, und sagst, dass dieser Abstand gleich 1 sein soll. Damit hast du dann zwei Bedingungen an den Punkt, so dass du die beiden Parameter der Ebene eliminieren kannst.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:40 Do 01.05.2008 | | Autor: | moiki |
Leider konnte ich mit deinem Hinweis nicht viel Anfangen, habe mich aber nochmal mit der Aufgabe beschäftigt.
Um sie zu vervollständigen hier mein Lösungsvorschlag:
Zuerst Forme ich die Ebene: x+y+z=1 um in die Normalenform.
[mm] x=\vektor{1\\1\\1}(x-(\vektor{0\\0\\1}=0
[/mm]
damit ich diese in der Formel d von Punkt zu Ebene: [mm] d=n(p-a)/\parallel [/mm] n [mm] \parallel
[/mm]
dann die Vektoren einsetzen, die Komponenten für px,py,pz anhand der formel als Gleichung schreiben:
$(px+py+pz-1)\ [mm] \wurzel{3}=\wurzel{3} |*\wurzel{3}$
[/mm]
px+py+pz-1=3
nun das gleiche mit der formel für die Gerade, die etwas schwerer ist, da ein Kreuzprodukt darin steht und die Norm im Nenner steht:
d Punkt-Gerade: [mm] d=\parallel r\times(p-a)\parallel/ \parallel [/mm] r [mm] \parallel
[/mm]
auch hier Zahlen der Vektoren und der gegebene Abstand einsetzen.
und die Gleichung aufschreiben,da norm von r=1 fällt der Nenner weg:
Ergibt [mm] \wurzel{.....}
[/mm]
Da px variabel ist können wir die andern beiden aus den 2 Gleichungen eliminieren und erhalten zb einen punkt (121) als Lösung!
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> Leider konnte ich mit deinem Hinweis nicht viel Anfangen,
> habe mich aber nochmal mit der Aufgabe beschäftigt.
> Um sie zu vervollständigen hier mein Lösungsvorschlag:
>
> Zuerst Forme ich die Ebene: x+y+z=1 um in die
> Normalenform.
> [mm]x=\vektor{1\\1\\1}(x-(\vektor{0\\0\\1}=0[/mm]
>
> damit ich diese in der Formel d von Punkt zu Ebene:
> [mm]d=n(p-a)/\parallel[/mm] n [mm]\parallel[/mm]
> dann die Vektoren einsetzen, die Komponenten für px,py,pz
> anhand der formel als Gleichung schreiben:
> [mm](px+py+pz-1)\ \wurzel{3}=\wurzel{3} |*\wurzel{3}[/mm]
>
> px+py+pz-1=3
> nun das gleiche mit der formel für die Gerade, die etwas
> schwerer ist, da ein Kreuzprodukt darin steht und die Norm
> im Nenner steht:
> d Punkt-Gerade: [mm]d=\parallel r\times(p-a)\parallel/ \parallel[/mm]
> r [mm]\parallel[/mm]
> auch hier Zahlen der Vektoren und der gegebene Abstand
> einsetzen.
> und die Gleichung aufschreiben,da norm von r=1 fällt der
> Nenner weg:
> Ergibt [mm]\wurzel{.....}[/mm]
> Da px variabel ist können wir die andern beiden aus den 2
> Gleichungen eliminieren und erhalten zb einen punkt (121)
> als Lösung!
>
Hallo moiki,
deine Idee sollte im Prinzip funktionieren, allerdings hat der Punkt P(1/2/1)
nach meiner Rechnung doch nicht den richtigen Abstand von der Geraden.
Ich möchte vorschlagen, dass du dir auch diese Aufgabe möglichst
anschaulich vorstellst. Diesmal hat ja die Gerade eine sehr spezielle
Lage: sie ist parallel zur y-Achse. Die Punkte, die von ihr den Abstand
r haben, liegen auf einer Zylinderfläche. Mach dir z.B. eine Skizze, in
welcher diese als Kreis erscheint. Dort findest du leicht (ganzzahlige)
Punkte mit dem vorgeschriebenen Abstand.
Die Punkte, die von Gerade und Ebene den Abstand r haben,
liegen auf einer (bzw. zwei !) einfachen Raumkurven (welcher Art?...)
LG
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> Bestimmen Sie Schnittpunkt und -Winkel der Ebene E und der
> Geraden G
> [mm]G=\vektor{1 \\2\\3}+\lambda[/mm] g* [mm]\vektor{-1\\0\\1};[/mm]
> E= [mm]\vektor{-1\\0\\0}*(x- \vektor{-1\\3\\0})=0[/mm]
> Mir geht
> es um den Schnittpunkt,
> ich Forme die Ebene um:
> in die Koordinatendarstellung:
> [mm]\vektor{-1\\3\\0}+\lambda[/mm] e [mm]\vektor{0\\1\\2}+\mu \vektor{0\\2\\1}[/mm]
>
> 1.Stimmt das so? Ich habe für die Richtungsvektoren
> Vektoren gesucht
>
> 2. Beim Gleichsetzen von Ebene und Gerade [mm]\vektor{1 \\2\\3}+\lambda[/mm]
> g * [mm]\vektor{-1\\0\\1}=\vektor{-1\\3\\0}+\lambda[/mm] e
> [mm]\vektor{0\\1\\2}+\mu \vektor{0\\2\\1}[/mm]
>
> bekomme ich für kg=2 raus
> das in die geradengleichung eingesetzt ergibt den
> schnittpunkt (-1,2,5)
Ich denke, dass du die Ebene viel einfacher darstellen könntest:
Sie hat die Koordinatengleichung x = -1 (nur die gegebene Gleichung ausmultiplizieren).
E ist also senkrecht zur 1.Achse oder parallel zur 2-3-Koordinatenebene.
Dies sollte dir einige Mühe beim Rechnen ersparen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 Sa 23.08.2008 | | Autor: | dippy |
Man kann das ganze auch sehr schnell mit der vorhandenen Normalenform lösen.
Einfach die Geradengleichung einsetzen:
[mm] \vektor{-1\\0\\0}*[ \vektor{1\\2\\3} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-1\\0\\1} [/mm] - [mm] \vektor{-1\\3\\0} [/mm] ] = 0
das ganze dann ausmultiplizieren oder umformen wenn man mag zu
[mm] \lambda [/mm] = [mm] -\vektor{-1\\0\\0}*[ \vektor{1\\2\\3} [/mm] - [mm] \vektor{-1\\3\\0} [/mm] ] / [mm] \vektor{-1\\0\\0}*\vektor{-1\\0\\1} [/mm] = - (-2/1) = 2
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