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Schnittpunkt Gerade Kugel: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Mo 31.01.2011
Autor: a-c

Aufgabe
Gegeben ist eine Kugel mit M (-12/12 [mm] \wurzel{3} [/mm]/[mm] \bruch{347}{22} [/mm] und r= [mm] \bruch{555}{22} [/mm].
Ein Laserstrahl wird von Punkt P (20/ 12[mm] \wurzel{3} [/mm] / [mm] \bruch{347}{22} [/mm] aus in Richtung M gerichtet.
Bestimmen sie die Koordinaten des PUnktes, an dem der Strahl auf die Kugeloberfläche trifft.

Meine Rechnung:

Kugelgleichung:

K: [mm] (x+12)^2 [/mm] + (y-12 [mm] \wurzel{3} )^2 [/mm] + [mm] (z+\bruch{347}{22})^2= [/mm] ( [mm] \bruch{555}{22})^2 [/mm]

K: [ $ [mm] \vec [/mm] x $ [mm]- \begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3}\\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm][mm] ]^2= [/mm] ( [mm] \bruch{555}{22})^2 [/mm]

Dann habe ich eine Gerade H durch M und P gelegt:

H: [mm] \vec x [/mm]= [mm] \begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3}\\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm] + t[mm] \begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix} [/mm]

Dann habe ich Die Gerade und die Kugel gleichgesetzt:

[[mm] \begin{pmatrix}
-12 \\12\wurzel{3} \\\bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm] + t[mm] \begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm][mm] ]^2 [/mm] = [mm] (\bruch{555}{22} )^2 [/mm]

nach ausrechnen und multiplizieren hatte ich dann:

[mm] 1024t^2= [/mm] ( [mm] \bruch{555}{22})^2 [/mm]

und dann habe ich die wurzel gezogen und hatte dann zwei ergebnisse:

[mm] t_1 [/mm]= -  [mm] \bruch{555}{704} [/mm]


[mm] t_2 [/mm]=  [mm] \bruch{555}{704} [/mm]

Es kann ja aber nur eine dieser Beiden Schnittpunkte in Frage gekommen. Ich habe das dann so begründet, dasss P und M sich nu inder x-Koordinate  unterscheiden und da P in positiver x-Richtung (von M aus) liegt kommt nur [mm] t_1 [/mm] in Frage.

dann habe ich [mm] t_1 [/mm] in die Geradengleichung eingesetzt:
Auftrittspunkt R:

[mm] \begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm] +  - [mm] \bruch{555}{704} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{-819}{22} \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} [/mm]

Ist diese Rechnung so richtig oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Vielen Dank im Voraus!

a-c


        
Bezug
Schnittpunkt Gerade Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Mo 31.01.2011
Autor: MathePower

Hallo a-c,

> Gegeben ist eine Kugel mit M (-12/12 [mm]\wurzel{3} [/mm]/[mm] \bruch{347}{22}[/mm]
> und r= [mm]\bruch{555}{22} [/mm].
>  Ein Laserstrahl wird von Punkt P
> (20/ 12[mm] \wurzel{3}[/mm] / [mm]\bruch{347}{22}[/mm] aus in Richtung M
> gerichtet.
> Bestimmen sie die Koordinaten des PUnktes, an dem der
> Strahl auf die Kugeloberfläche trifft.
>  Meine Rechnung:
>  
> Kugelgleichung:
>  
> K: [mm](x+12)^2[/mm] + (y-12 [mm]\wurzel{3} )^2[/mm] + [mm](z+\bruch{347}{22})^2=[/mm]
> ( [mm]\bruch{555}{22})^2[/mm]
>  
> K: [ [mm]\vec x[/mm] [mm]- \begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3}\\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm][mm] ]^2=[/mm]
> ( [mm]\bruch{555}{22})^2[/mm]
>  
> Dann habe ich eine Gerade H durch M und P gelegt:
>  
> H: [mm]\vec x [/mm]= [mm]\begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3}\\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm] + t[mm] \begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Dann habe ich Die Gerade und die Kugel gleichgesetzt:
>  
> [[mm] \begin{pmatrix}

-12 \\12\wurzel{3} \\\bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm]

> + t[mm] \begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm] -
> [mm]\begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm][mm] ]^2[/mm]
> = [mm](\bruch{555}{22} )^2[/mm]
>  
> nach ausrechnen und multiplizieren hatte ich dann:
>  
> [mm]1024t^2=[/mm] ( [mm]\bruch{555}{22})^2[/mm]
>  
> und dann habe ich die wurzel gezogen und hatte dann zwei
> ergebnisse:
>  
> [mm]t_1 [/mm]= -  [mm]\bruch{555}{704}[/mm]
>  
>
> [mm]t_2 [/mm]=  [mm]\bruch{555}{704}[/mm]
>
> Es kann ja aber nur eine dieser Beiden Schnittpunkte in
> Frage gekommen. Ich habe das dann so begründet, dasss P
> und M sich nu inder x-Koordinate  unterscheiden und da P in
> positiver x-Richtung (von M aus) liegt kommt nur [mm]t_1[/mm] in
> Frage.


Nun, anhand der Gerade  H stellt man fest,
daß für t=-1der Punkt  P erreicht wird.

Demnach muss der in frage kommende t-Wert zwischen -1 und 0 liegen.


>  
> dann habe ich [mm]t_1[/mm] in die Geradengleichung eingesetzt:
>  Auftrittspunkt R:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm] +  -
> [mm]\bruch{555}{704}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} \bruch{-819}{22} \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix}[/mm]


Bei der Ausführung der obigen Rechnung ist Dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen:

[mm]\begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} + \left(- \bruch{555}{704}\right)\begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} \blue{+} \bruch{555}{704}\begin{pmatrix} +32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm]

Du hast aber gerechnet

[mm]\begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} + \left(- \bruch{555}{704}\right)\begin{pmatrix} -32 \\0 \\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -12 \\12 \wurzel{3} \\ \bruch{347}{22} \end{pmatrix} \blue{-} \bruch{555}{704}\begin{pmatrix} +32 \\0 \\0 \end{pmatrix}[/mm]


>
> Ist diese Rechnung so richtig oder habe ich irgendwo einen
> Fehler gemacht?
>  
> Vielen Dank im Voraus!
>  
> a-c
>  


Gruss
MathePower

Bezug
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