Schnittpunkt Gerade mit Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Gerade g1, die durch die beiden Punkte P1=(0;0;0) und P2=(1;2;2) verläuft und berechnen Sie den Schnittpunkt von g1 mit E1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Hallo zusammen. Ich hänge am folgenden Problem fest. Wenn ich die Ebenengleichung von E1 und die Geradengleichung von g1 aufgestellt habe, weiss ich nicht, wie ich weiter rechnen soll.
geg: E1: [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] * ( r - [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] = 0
E2: r= [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + lambda [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + µ [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt hab ich die Geradengleichung g1 durch die Punkte P1 und P2 aufgestellt:
g1: [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + lambda [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
dann hab ich den vektor r in E1 eingesetzt:
E1: [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] [(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}) [/mm] + lambda [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) [/mm] + µ [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}] [/mm] = 0
E1: [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] * [ [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + lambda [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + µ [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}]= [/mm] 0
Wie genau mache ich jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mo 21.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie eine Gerade g1, die durch die beiden Punkte
> P1=(0;0;0) und P2=(1;2;2) verläuft und berechnen Sie den
> Schnittpunkt von g1 mit E1.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Hallo zusammen. Ich hänge am
> folgenden Problem fest. Wenn ich die Ebenengleichung von E1
> und die Geradengleichung von g1 aufgestellt habe, weiss ich
> nicht, wie ich weiter rechnen soll.
>
> geg: E1: [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] * ( r -
> [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] = 0
> E2: r= [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + lambda
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + µ
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt hab ich die Geradengleichung g1 durch die Punkte P1
> und P2 aufgestellt:
>
> g1: [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + lambda
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
O.K.
>
> dann hab ich den vektor r in E1 eingesetzt:
>
> E1: [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] *
> [mm][(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm] + lambda
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm] + µ
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] -
> [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}][/mm] = 0
??????
Du sollst doch den Schnittpunkt von [mm] g_1 [/mm] und [mm] E_1 [/mm] bestimmen, also löse die Gl.
$ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] (\lambda \vektor{1 \\ 2\\ 2} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}) [/mm] = 0 $
FRED
>
> E1: [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] * [
> [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm] + lambda
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + µ
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}]=[/mm] 0
>
> Wie genau mache ich jetzt weiter?
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Also setzte ich das Lambda der Geradengleich g1 einfach als den Vektor r in Ebenengleichung E1 ein? Vielen Dank für deine Antwort. Ich hab mich da sehr schwer getan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 21.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also setzte ich das Lambda der Geradengleich g1 einfach als
> den Vektor r in Ebenengleichung E1 ein?
Nein, Du setzt r= lambda [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 2} [/mm]
FRED
> Vielen Dank für
> deine Antwort. Ich hab mich da sehr schwer getan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hans-itor |
Sorry, so meinte ich das auch :)
Ich danke dir vielmals.
Schönen Abend noch!
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Die Aufgabe hat noch einen Punkt b)
Der lautet: Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] in Gradmaß.
Dafür nehme ich ja folgende Formel: phi = arccos [mm] \bruch {n_1 * n_2}{|n_1| * |n_2|}
[/mm]
Von Ebene [mm] E_1 [/mm] hab ich ja das [mm] n_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
Ebene [mm] E_2 [/mm] ist ja nur als r gegeben. Muss ich das noch umwandeln? Wie komme ich an [mm] n_2?[/mm]
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Guten Morgen,
> Wie ist das eigentlich wenn mein Punkt 1 nicht (0;0;0) ist.
> Sondern z.B. (4;5;6). Daraus ergibt sich neue
> Geradegleichung g1: [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm] [mm] +\lambda[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
Die Geradengleichung ist nicht richtig. Der Richtungsvektor muss eine Differenz der beiden Punkte sein - der Richtungsvektor ist schließlich nicht der Ortsvektor
>
> Wie setze ich das in meine Ebengleichung E1 ein? Die
> Geradengleich sieht ja folgendermaßen aus: r = r1 + [mm] \lambda [/mm] a
> Setze ich dann die komplette Geradegleichung für r in
> Ebenengleichung E1 ein?
So ist es.
Gruß
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Aso ok. Heisst das also, dass die Geradengleichung folgendermaßen aussieht?
[mm] g_1= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] + lamba [mm] \begin{pmatrix} 4-1 \\ 5-2 \\ 6-2 \end{pmatrix}
[/mm]
Spielt das eine Rolle ob ich jetzt 4-1 oder 1-4 rechne? Das Lambda ändert sich ja dadurch.
Die Aufgabe hat noch einen Punkt b)
Der lautet: Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen $ [mm] E_1 [/mm] $ und $ [mm] E_2 [/mm] $ in Gradmaß.
Dafür nehme ich ja folgende Formel: phi = arccos $ [mm] \bruch {n_1 \cdot{} n_2}{|n_1| \cdot{} |n_2|} [/mm] $
Von Ebene $ [mm] E_1 [/mm] $ hab ich ja das $ [mm] n_1 [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] $
Ebene $ [mm] E_2 [/mm] $ ist ja nur als r gegeben. Muss ich das noch umwandeln? Wie komme ich an $ [mm] n_2? [/mm] $
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Hi,
> Aso ok. Heisst das also, dass die Geradengleichung
> folgendermaßen aussieht?
>
> [mm]g_1= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm] + lamba
> [mm]\begin{pmatrix} 4-1 \\ 5-2 \\ 6-2 \end{pmatrix}[/mm]
> Spielt das
> eine Rolle ob ich jetzt 4-1 oder 1-4 rechne? Das Lambda
> ändert sich ja dadurch.
Das ist dir überlassen, wie du es machst.
>
> Die Aufgabe hat noch einen Punkt b)
>
> Der lautet: Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen [mm]E_1[/mm]
> und [mm]E_2[/mm] in Gradmaß.
>
> Dafür nehme ich ja folgende Formel: phi = arccos [mm]\bruch {n_1 \cdot{} n_2}{|n_1| \cdot{} |n_2|}[/mm]
>
> Von Ebene [mm]E_1[/mm] hab ich ja das [mm]n_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ebene [mm]E_2[/mm] ist ja nur als r gegeben. Muss ich das noch
> umwandeln? Wie komme ich an [mm]n_2?[/mm]
Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden und schon hast du den Normalenvektor
Gruß
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E2: r= $ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ + lambda $ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ + µ $ [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
Also rechne ich [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] X [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] und das ist dann mein [mm] n_2? [/mm] Wie nenne ich denn den Vektor [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, [/mm] der vor meinem Lambda und µ steht?
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Hi,
> E2: r= [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + lambda [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + µ [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Also rechne ich [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] X [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -5 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] und das ist
> dann mein [mm]n_2?[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie nenne ich denn den Vektor
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix},[/mm] der vor meinem
> Lambda und µ steht?
Das ist der Stützvektor der Ebene.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Di 22.02.2011 | | Autor: | hans-itor |
Super!!!! Dickes Danke von mir!!!
Jetzt steige ich da so langsam hinter. Nur ich habe den Begriff Stützvektor noch nie gehört :) Gibt es da auch einen anderen Begriff für?
Mich wundert auch, dass dieser Stützvektor für die Berechnung überhaupt nicht verwendet wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Di 22.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Super!!!! Dickes Danke von mir!!!
> Jetzt steige ich da so langsam hinter. Nur ich habe den
> Begriff Stützvektor noch nie gehört :) Gibt es da auch
> einen anderen Begriff für?
Ich kenn keinen.
> Mich wundert auch, dass dieser Stützvektor für die
> Berechnung überhaupt nicht verwendet wird.
Du musst dir vorstellen, dass durch die Richtungsvektoren die Neigung der Ebene im Raum eindeutig festgelegt ist. Nun gibt es aber unterschiedliche Ebenen, die durch Verschiebung entlang des Normalenvektors mit dieser Neigung entstehen. Also muss noch ein beliebiger Punkt der Ebene her (das wäre der Stützvektor), um die Ebene zu charakterisieren.
Bei der Winkelberechnung spielt der Stützvektor keine Rolle, da die Neigung der Ebene zur anderen bei Verschiebung entlang des Normalenvektors unverändert bleibt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Di 22.02.2011 | | Autor: | hans-itor |
Super. Vielen Dank dir nochmal. Du hast mir wirklich gut weiter geholfen.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Di 22.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Super. Vielen Dank dir nochmal. Du hast mir wirklich gut
> weiter geholfen.
Gern geschehen!
> Gruß
>
Gruß
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