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| Aufgabe | | Man beweise oder widerlege die Behauptung, dass sich in einem Tetraeder die Höhen in einem Punkt schneiden. |
Meine Idee ist jetzt, dass ich die geradengleichung der Höhen erzeuge und dann zeige, dass sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Soweit so Gut.
Ich wollte jetzt durch jedes der 4 Dreiecke des tetraeder eine Ebene legen und dann mit dem vektorprodukt einen dazu orthogonalen Vektor erzeugen. Mit Hilfe des vektors und des der Seite gegenüber liegenden Punkt erstelle ich die geradengleichung der Höhe. Das mache ich 4 mal. Dann wollte ich zeigen, dass diese sich nicht schneiden, weiß aber nicht so wirklich wie :-(
Ich schreib mal meine Höhengleichungen hier hin:
[mm] $
(Um sich das besser vorstellen zu können: mein tetraeder hat die grundseite A, B, D und die Spitze ist C)
Würde mich freuen, wenn jetzt jemand nen Tipp hätte wie ich weiter machen kann.
Schöne grüße,
Grafzahl 123
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> Man beweise oder widerlege die Behauptung, dass sich in
> einem Tetraeder die Höhen in einem Punkt schneiden.
> Meine Idee ist jetzt, dass ich die geradengleichung der
> Höhen erzeuge und dann zeige, dass sie keinen gemeinsamen
> Schnittpunkt haben. Soweit so Gut.
> Ich wollte jetzt durch jedes der 4 Dreiecke des tetraeder
> eine Ebene legen und dann mit dem vektorprodukt einen dazu
> orthogonalen Vektor erzeugen. Mit Hilfe des vektors und des
> der Seite gegenüber liegenden Punkt erstelle ich die
> geradengleichung der Höhe. Das mache ich 4 mal. Dann
> wollte ich zeigen, dass diese sich nicht schneiden, weiß
> aber nicht so wirklich wie :-(
> Ich schreib mal meine Höhengleichungen hier hin:
> [mm][/mm]
>
> (Um sich das besser vorstellen zu können: mein tetraeder
> hat die grundseite A, B, D und die Spitze ist C)
>
> Würde mich freuen, wenn jetzt jemand nen Tipp hätte wie
> ich weiter machen kann.
> Schöne grüße,
> Grafzahl 123
Hallo Grafzahl123,
das kann auf dem angedeuteten Weg etwas kompliziert
werden. Insbesondere frage ich mich, wie du die Nicht-
existenz eines gemeinsamen Punktes der 4 Höhen
allgemein beweisen willst, wo es doch klar ist, dass
es jedenfalls gewisse Tetraeder gibt, bei welchen sich
die Höhen tatsächlich in einem gemeinsamen Punkt
treffen, nämlich sicher im regulären Tetraeder !
Falls du denkst, die Behauptung sei im Allgemeinen
falsch, dann würde ein einziges konkretes Gegen-
beispiel genügen, und ein solches zu finden sollte
dann auch nicht schwer fallen.
Sollte es aber wirklich darum gehen, einen Beweis
für eine (wahre) Behauptung aufzustellen, würde
ich dir empfehlen, zunächst einmal etwas tiefer
über die Geometrie des Tetraeders und seiner Höhen
nachzudenken und nicht unbedingt Gleichungen
mit Vektorprodukten aufzufahren ...
Sinnvoll wäre sicher auch die Beschäftigung mit dem
analogen Satz in der nächst-tieferen Dimension
(Höhen im ebenen Dreieck) und dessen Beweis.
LG , Al-Chw.
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