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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 04:24 Mi 22.02.2012 | | Autor: | ChrissiP |
| Aufgabe | Berechnen sie alle reellen Schnittstellen der Graphen f(x) und p(x).
f(x) = [mm] -x^4+8x^2-16
[/mm]
p(x)= [mm] 4x^2-4x-8 [/mm] |
## Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ##
Hey ihr,
bei der Aufgabe stoße ich auf folgendes Problem
Wenn ich als ersten Schritt f(x)=p(x) mache dann komm ich auf folgendes
[mm] -x^4+8x^2-16=4x^2-4x-8
[/mm]
Nun könnte ich noch +8 rechnen, aber wie mache ich danach weiter?
Ausklammern und substituieren bringen nichts (oder habe ich etwas übersehen)?
Da ich diese Aufgabe ohne Taschenrechner erledigen muss wären die einfachen Lösungen auch nicht hilfreich. Ich hoffe jemand von euch kann mir ein paar Hinweise bzw. Tipps geben oder zumindest mir den Rechenweg mit Zwischenschritten hier erklären. Schonmal danke für eure Hilfe
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> Berechnen sie alle reellen Schnittstellen der Graphen f(x)
> und p(x).
> f(x) = [mm]-x^4+8x^2-16[/mm]
> p(x)= [mm]4x^2-4x-8[/mm]
> ## Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. ##
>
> Hey ihr,
> bei der Aufgabe stoße ich auf folgendes Problem
> Wenn ich als ersten Schritt f(x)=p(x) mache dann komm ich
> auf folgendes
> [mm]-x^4+8x^2-16=4x^2-4x-8[/mm]
> Nun könnte ich noch +8 rechnen, aber wie mache ich danach
> weiter?
> Ausklammern und substituieren bringen nichts (oder habe
> ich etwas übersehen)?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
[mm] $-x^4+8x^2-16=4x^2-4x-8$
[/mm]
<==>
[mm] x^4-4x^2-4x+8=0
[/mm]
Am besten kommst Du jetzt weiter, wenn Du versuchst, eine Nullstelle zu erraten - Schulaufgaben sind ja oft sehr freundlich gestellt.
Bei Polynomen wie hier, vor deren höchster x-Potenz der
Faktor 1 steht, probiert man am besten mal die Teiler der "nackten" Zahl durch, hier also die Teiler der 8, nämlich [mm] \pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 2, [mm] \pm [/mm] 4, [mm] \pm [/mm] 8.
Hier wirst Du feststellen, daß bei x=2 eine Nullstelle ist.
Du kannst nun eine Polynomdivision machen, also [mm] (x^4-4x^2-4x+8):(x-2) [/mm] berechnen, und dann "irgendwie" eine Nullstelle des Ergebnisses bestimmen.
Bloß gibt es jetzt echte Probleme: diese Nullstelle nämlich kann man kaum per hand ausrechnen. Man würde hier mit irgendeinem Nährungsverfahren arbeiten oder sie aus dem Graphen ablesen.
Sollst Du die reellen Nullstellen wirklich exakt berechnen, oder sollst Du etwas über ihre Existenz und Anzahl sagen?
Wenn Du sie exakt berechnen sollst, vermute ich einen Fehler in der Aufgabenstellung.
LG Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:18 Mi 22.02.2012 | | Autor: | ChrissiP |
Danke für die Begrüßung und natürlich auch für deine Antwort. :) Den weg über die Nullstellenberechnung hatte ich auch ausprobiert kam aber auch nur auf die zwei durch ausprobieren. Die 2 stimmt auch auf jeden Fall aber die zweite Schnittstelle ist bei x=1.1304... diese finde ich nicht raus aber es steht explizit da wir sollen sie berechnen.
Die Funktion p(x) hieß ursprünglich 4*(x-2)*(x+1).
Da die vorherige Aufgabe war die Funktion in die normalform zu bringen habe ich dann mit der weiter gerechnet. Aber die von mir angegebene normalform müsste korrekt sein, so hoffe ich.
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> Danke für die Begrüßung und natürlich auch für deine
> Antwort. :) Den weg über die Nullstellenberechnung hatte
> ich auch ausprobiert kam aber auch nur auf die zwei durch
> ausprobieren. Die 2 stimmt auch auf jeden Fall aber die
> zweite Schnittstelle ist bei x=1.1304... diese finde ich
> nicht raus aber es steht explizit da wir sollen sie
> berechnen.
>
> Die Funktion p(x) hieß ursprünglich 4*(x-2)*(x+1).
> Da die vorherige Aufgabe war die Funktion in die
> normalform zu bringen habe ich dann mit der weiter
> gerechnet. Aber die von mir angegebene normalform müsste
> korrekt sein, so hoffe ich.
Hallo,
Deine Funktion g(x) ist in Ordnung.
Die zweite reelle Nullstelle (bzw. Schnittstelle der beiden Funktionen) ist wüst, ![[]](/images/popup.gif) guck mal.
Man kann sie mit einem passenden Verfahren exakt berechnen - aber kein Mensch macht das, und es ist ganz sicher im Rahmen des Schulunterrichts nicht gefordert. Wenn Du neugierig bist, kannst Du es in der wikipedia bei "kubische Gleichungen" finden.
Entweder Du hast bei f(x) etwas versemmelt, oder die Funktionen sollten irgendwie anders heißen, oder Du sollst erkennen, daß es an der Zeit ist, ein Näherungsverfahren zu lernen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Mi 22.02.2012 | | Autor: | ChrissiP |
Hallo,
F(x) ist auf jeden Fall richtig da dies direkt auf dem arbeitsblatt so steht. Das ist ein Auszug von einer ehemaligen Fachoberschulprüfung. Unsere Mathelehrerin sagte dass wir alles schaffen müssten mit dem Wissen was wir bis jetzt haben. Näherungsrechnungen haben wir uns aber noch garnicht angeschaut. Vlt findet ja jemand noch eine Lösung dafür aber ich werd das x=2 auf jeden Fall erstmal durchs probieren aufschreiben und den zweiten x-wert erstmal angeben als TR Lösung. Zum Glück hab ich noch meinen guten alten voyage200 ;)
Gibt es vlt noch einen Trick wie man das x=2 schneller erkennt?
Schönen Norgen noch
LG Christian
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Hallo ChrissiP,
> Hallo,
> F(x) ist auf jeden Fall richtig da dies direkt auf dem
> arbeitsblatt so steht. Das ist ein Auszug von einer
> ehemaligen Fachoberschulprüfung. Unsere Mathelehrerin
> sagte dass wir alles schaffen müssten mit dem Wissen was
> wir bis jetzt haben. Näherungsrechnungen haben wir uns
> aber noch garnicht angeschaut. Vlt findet ja jemand noch
> eine Lösung dafür aber ich werd das x=2 auf jeden Fall
> erstmal durchs probieren aufschreiben und den zweiten
> x-wert erstmal angeben als TR Lösung. Zum Glück hab ich
> noch meinen guten alten voyage200 ;)
> Gibt es vlt noch einen Trick wie man das x=2 schneller
> erkennt?
>
Versuche aus den ersten beiden Summanden des Polynoms f(x)-p(x)
einen gemeinsamen Faktor auszuklammern.
Dasselbe machst Du mit den beiden letzten Summanden.
> Schönen Norgen noch
> LG Christian
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mi 22.02.2012 | | Autor: | ChrissiP |
Ich merk grad das ich große Defizite hab :(
Nach dem Ausklammern komm ich auf folgendes:
[mm] x^2*(-x^2+4)+4(x-2)=0
[/mm]
Nur wenn ich jetzt mal ehrlich bin, das nützt mir grad nicht viel ._.
Ich hab mal nebenbei meinen schlauen Taschenrechner noch befragt und der sagte mir aus f(x) kann ich durch Umformung auch [mm] -(x-2)^2*(x+2)^2 [/mm] berechnen. Kann mir das noch jemand erklären wie das Funktioniert. Das ist grad Teufelswerk für mich. Ich hab nur erkannt das eine binomische Formel dahinter versteckt ist, aber bin nicht darauf gekommen.
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Hallo,
da steckt die sog. 3. binomische Formel
[mm] a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
[/mm]
dahinter. Damit wird
[mm] x^2-4=(x-2)*(x+2)
[/mm]
und der Rest sollte klar sein.
Gruß, Diophant
PS: Stelle solche Rückfragen ruhig als Frage, dann sehen die anderen User, dass es da noch Klärungsbedarf gibt. ich habe obige Mitteilu8ng für dich mal umgewandelt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Mi 22.02.2012 | | Autor: | ChrissiP |
Danke erstmals für die Erklärung zu der binomischen Formel. Kam nicht klar admit das die Potenzen dann einfach übernommen worden.
Hab das auch erst umgeform und dachte nicht weiter :)
Falls ich nochmal Hilfe brauch häng ich es an dieses Thema an. Vielen Dank aber erstmal :)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:30 Mi 22.02.2012 | | Autor: | ChrissiP |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle reellen Schnittstellen der Graphen f und p.
f(x) = [mm] -x^4+8x^2-16
[/mm]
p(x) = 4(x-2)(x+1) |
Also nachdem ich nun alles probiert habe bin ich bei folgenden Dingen gelandet.
f(x)=p(x)
[mm] -x^4+8x^2-16=4(x-2)(x+1) [/mm] umformbar zu
[mm] -x^4+8x^2-16=4x^2-4x-8
[/mm]
[mm] -(x+2)^2*(x-2)^2=4(x-2)(x+1) [/mm] (richtig???)
Aber ich komme immernoch nicht auf ein Ergebnis welches sich ohne TR errechnen lässt bzw auch ohne probieren ._.
Langsam komme ich echt nicht mehr klar :(
Kann mir einer noch einen Hinweis geben mit welcher ich weiterrechnen sollte bzw. ob ich einen ganz anderen Ansatz benutzen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chrissi!
Was hier auf jeden Fall weiterhelfen würde, und was auch ohne Taschenrechner geht: faktorisiere die Funktion $f(x)_$ .
Es gilt:
$f(x) \ = \ [mm] -x^4+8*x^2-16 [/mm] \ = \ [mm] -\left(x^4-8*x^2+16\right) [/mm] \ = \ [mm] -\left[\left(x^2-4\right)^2\right] [/mm] \ = \ [mm] -(x+2)^2*(x-2)^2$
[/mm]
Wenn Du das nun mit der anderen Funktion gleichsetzt, ergibt sich eine Lösung sofort:
$f(x) \ = \ g(x)$
[mm] $-(x+2)^2*(x-2)^2 [/mm] \ = \ 4*(x+1)*(x-2)$
[mm] $-(x+2)^2*(x-2) [/mm] \ = \ 4*(x+1) \ \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ \ x-2 \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 22.02.2012 | | Autor: | ChrissiP |
Moin Loddar
Aber wenn ich bei
$ [mm] -(x+2)^2\cdot{}(x-2) [/mm] \ = \ [mm] 4\cdot{}(x+1) [/mm] \ \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ \ x-2 \ = \ 0 $
für x=2 einsetze kommt raus
-16*0=12
und das stimmt ja bekanntlicher weise nicht.
Wenn ich es mit meinem GTR-TR ausrechne komm ich auf 1,1304....
Liebe abendliche Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mi 22.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Moin Loddar
> Aber wenn ich bei
> [mm]-(x+2)^2\cdot{}(x-2) \ = \ 4\cdot{}(x+1) \ \ \ \text{oder} \ \ \ x-2 \ = \ 0[/mm]
>
> für x=2 einsetze kommt raus
> -16*0=12
> und das stimmt ja bekanntlicher weise nicht.
> Wenn ich es mit meinem GTR-TR ausrechne komm ich auf
> 1,1304....
>
> Liebe abendliche Grüße
Das war ja auch nur die Erklärung, wie man auf die schon bekannte Lösung x=2 kommen kann.
Wenn eure Lehrerin behauptet, ihr könnt ALLE Lösungen ohne Hilfsmittel finden, dann hat sie euch verarscht oder eben einfach die Aufgabe einer früheren Prüfung falsch abgeschrieben.
Mach dich also nicht selbst fertig.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Do 23.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du p(x) auf 4(x-2)*(x+2) änderst hast du schnell und leicht 3 Nst, eine doppelt.
so sah garantiert die ursprüngliche aufgabe aus.
du oder deine lehrerin haben nen abschreibefehler gemacht.
zu sehen und ne typische Aufgabe ist dabei dass [mm] -x^4+8x^2-16=-(x+2)^2*(x-2)^2 [/mm] das zu sehen ist die einzige Schwierigkeit der geänderten Aufgabe.
behaupte einfach mal frech dass da ein druckfehler vorliegt.
dass bei deiner ungeänderten Aufgabe aufgabe noch eine Nst zwischen 1 und 2 liegt kann man ja noch leicht sagen, evt auch zw 1.1 und 1.2
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen sie alle reellen Schnittstellen der Graphen f(x)
> und p(x).
> f(x) = [mm]-x^4+8x^2-16[/mm]
> p(x)= [mm]4x^2-4x-8[/mm]
> ## Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. ##
>
> Hey ihr,
> bei der Aufgabe stoße ich auf folgendes Problem
> Wenn ich als ersten Schritt f(x)=p(x) mache dann komm ich
> auf folgendes
> [mm]-x^4+8x^2-16=4x^2-4x-8[/mm]
> Nun könnte ich noch +8 rechnen, aber wie mache ich danach
> weiter?
> Ausklammern und substituieren bringen nichts (oder habe
> ich etwas übersehen)?
> Da ich diese Aufgabe ohne Taschenrechner erledigen muss
> wären die einfachen Lösungen auch nicht hilfreich. Ich
> hoffe jemand von euch kann mir ein paar Hinweise bzw. Tipps
> geben oder zumindest mir den Rechenweg mit
> Zwischenschritten hier erklären. Schonmal danke für eure
> Hilfe
vielleicht wollte Eure Lehrerin nur von den beiden Funktionen jeweils deren Nullstellen, also deren Schnittstellen mit der [mm] $x\,$-Achse, [/mm] berechnet haben. Denn wie Angela schon erkannte, führt die Berechnung der Schnittstellen der beiden Graphen zudem auf die Gleichung
[mm] $$x^3+2x^2-4=0\,,$$
[/mm]
und ich kenne kaum jmd. bis hin zu niemanden, der in der Schule schon die Formel kannte bzw. bewies, um die entsprechenden (unter anderem auch komplexen) Lösungen dieser Gleichung zu berechnen!
D.h.: Vielleicht wollte Eure Lehrerin einfach nur "jeweils die Schnittstellen der Graphen der beiden Funktionen mit der [mm] $x\,$-Achse" [/mm] berechnet haben, und hat diesen Textteil vergessen, hinzuschreiben. Denn in dieser Form wäre die Aufgabe dann auch schulgerecht(er)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 So 04.03.2012 | | Autor: | ChrissiP |
Also weder ich noch meine Lehrerin haben einen Schreibfehler gemacht ;)
Sie hat uns nur einfach nicht geglaubt das wir das ohne TR machen, das war das einzige Problem.
Manchmal könnt ich diese Frau töten -.-
Danke aber auf jeden fall für eure Antworten :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:52 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo ChrissiP,
der letzte Satz deiner obigen Rückmeldung ist völlig inakzeptabel. Bitte entferne ihn noch und hinterfrage das mal, ich denke, du wirst es selbst einsehen, dass sich so etwas nicht gehört.
Gruß, Diophant
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