Schnittpunkt von 3 Ebenen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] E_1: x_1-x_2-x_3=0
[/mm]
[mm] E_2: 3x_1+x_2-x_3=b
[/mm]
[mm] E_3: ax_1+8x_2+2x_3=7
[/mm]
bestimme a,b so, dass sich die 3 Ebenen in einer Geraden schneiden. Berechne anschließend die Schnittmenge.
schnittpunkt von 3 Ebenen berechne ich durch |
wie berechne ich die schnittgerade? ich habe immer Probleme, wenn zu den variablen noch Parameter dazu kommen...das fälltmir immer schwer!
bei der schnittmenge kann ich doch erst 2 Ebenen gleichsetzen und diese dann mit der dritten oder?
LG mathegirl
|
|
| |
|
Hallo MatheGirl,
> [mm]E_1: x_1-x_2-x_3=0[/mm]
> [mm]E_2: 3x_1+x_2-x_3=b[/mm]
> [mm]E_3: ax_1+8x_2+2x_3=7[/mm]
>
> bestimme a,b so, dass sich die 3 Ebenen in einer Geraden
> schneiden. Berechne anschließend die Schnittmenge.
>
>
> schnittpunkt von 3 Ebenen berechne ich durch
>
>
>
> wie berechne ich die schnittgerade? ich habe immer
> Probleme, wenn zu den variablen noch Parameter dazu
> kommen...das fälltmir immer schwer!
>
Löse das entsprechende Gleichungsystem.
>
> bei der schnittmenge kann ich doch erst 2 Ebenen
> gleichsetzen und diese dann mit der dritten oder?
Ja, Du kannst zunächst [mm]E_{1}[/mm] mit [mm]E_{2}[/mm] schneiden.
Daraus ergibt sich dann die Schnittgerade von [mm]E_{1}[/mm] und [mm]E_{2}[/mm].
Diese Gerade setzt Du dann in die verbliebene Gleichung ein.
Beachte aber, daß diese Gleichung für den hier frei wählbaren
Parameter z.B. [mm]x_{1}[/mm] unendlich viele Lösungen haben muß.
>
> LG mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Irgendwie komme ich da zu keiner vernünftigen Lösung.....
Nach dem Eliminationsverfahren komme ich auf:
[mm] 1x_1-1x_2-1x_3=0
[/mm]
[mm] 0x_1+4x_2+2x_3=b
[/mm]
[mm] 0x_1+0x_2-8x_3= [/mm] 8b+ab+27
das kann aber nicht stimmen oder? wie gesagt, sobald Parameter dabei sind verrechne ich mich ständig oder rechne falsch....:(
LG mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> Irgendwie komme ich da zu keiner vernünftigen
> Lösung.....
>
> Nach dem Eliminationsverfahren komme ich auf:
>
> [mm]1x_1-1x_2-1x_3=0[/mm]
> [mm]0x_1+4x_2+2x_3=b[/mm]
> [mm]0x_1+0x_2-8x_3=[/mm] 8b+ab+27
>
> das kann aber nicht stimmen oder? wie gesagt, sobald
> Parameter dabei sind verrechne ich mich ständig oder
> rechne falsch....:(
>
Die letzte Zeile stimmt nicht.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> LG mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich hab da einen Einwurf, der die Sache leichter machen könnte, sofern du das Verfahren kennst.
Du kannst die Koeffizienten auf der linken Seite deines ursprünglichen LGS als 3x3-Matrix hinschreiben, und die Determinante davon berechnen.
Generell gilt: Ist die Determinante nicht 0, so hat das LGS exakt eine Lösung. Ist die Determinante gleich 0, so hat das LGS entweder keine Lösung, oder unendlich viele.
Du willst den Fall mit den unendlich vielen Lösungen, denn eine Grade besteht aus unendlich vielen Punkten.
Du kannst also fordern, daß deine Determinante =0 sein soll, und da nur das a als Variable vorkommt, kannst du dieses berechnen. Und das ist eine ziemlich einfache und schnelle Sache, danach fehlt dir nur noch das b...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 So 07.11.2010 | | Autor: | dfx |
Unabhängig vom Begriff der Determinanten, lässt sich der Rat von Event_Horizon auch kurz fassen:
Wenn das LGS der drei Ebenen unendlich viele Lösungen ergibt, dann schneiden sich die drei Ebenen in einer Geraden.
Somit ist wohl nur der Fall der unendlich vielen Lösungen zu betrachten. Also wenn man für [mm] x_3 [/mm] zum Beispiel beliebige Werte wählen könnte. Allerdings komm ich mit der geometrischen Deutung und den Bezeichnungen der Gleichungen als Ebenen bzw. Geraden noch nicht so recht auf einen grünen Zweig. Ich meine, es wäre bei einer bestimmten Wahl von a und b möglich.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ja, das ist natürlich klar, das stand weiter oben schon. Die Sache ist halt, wie du das an dem Gleichungssystem erkennst, wieviele Lösungen es hat, vor allem Trat hier das Problem auf, daß das ganze durch die zwei Variablen etwas verwirrend ist.
Das mit der Determinante dient explizit dazu, a völlig unabhängig von b mit wenig Aufwand zu berechnen, anstatt sich mit 3 Gleichungen und 5 Variablen rumzuschlagen.
Da es für a nur eine Lösung gibt, für die das LGS unendlich viele Lösungen hat, wird das schon der richtige Parameter für den Fall einer existierenden Schnittgraden sein.
Ansonsten: Wo besteht denn deine Unklarheit bezüglich der Gleichungen und Ebenenen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mo 08.11.2010 | | Autor: | dfx |
Beitrag entfernt.
|
|
|
|
