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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mi 06.12.2006 | | Autor: | yuna2 |
| Aufgabe | In einem Koordinatsystem im Raum hat eine Kugel die Gleichung
(x-1)²+(y-2)²+(z-1)² = 49
Die Punkte N(1,2,8) und P(3,5,7) liegen auf der Kugel, und die Linie l geht durch das Zentrum der Kugel und Punkt P.
a) Bestimme den Schnittpunkt zwischen l und dem Tangentplan zur Kugel im Punkt N. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Ich komme von einer dänischen Schule, deshalb weiss ich nicht, ob ich alles korrekt übersetzt habe und kann vielleicht auch die deutschen Fachausdrücke nicht so gut einsetzen, da ich sie einfach nicht kenne.
Ich hoffe, jemand kann mir helfen, da ich morgen möglichst die Antwort wissen müsste oder wenigstens einen Ansatzpunkt haben möchte, damit ich nicht ganz verloren bin...
Sitze nun seit mehreren Stunden an einer Aufgabe und komme nicht vom Fleck. Weiss zwar, dass das Zentrum der Kugel (1,2,1) ist und auch das der Radius 7 ist.
Der Tangentplan schneidet die Kugel ja im Punkt N, also muß der Schnittpunkt außerhalb der Kugeloberfläche liegen, nur habe ich keine Ahnung, wie ich das herausfinden soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo yuna,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Was meinst Du mit "Tangentplan"? Ist das vielleicht eine "Tangentialebene", welche die Kugel nur in dem einen Punkt $N_$ berührt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mi 06.12.2006 | | Autor: | yuna2 |
Wie gesagt, ich kenne die Fachausdrücke nicht. Aber es klingt gut! 
Also eine Fläche, wohl eine Ebene, die nur da die Kugel berüht, also es wird wohl das Richtige sein.
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Gut, dann können wir ja...
Die Tangentialebene schreibst du am schnellsten in der Normalenform hin. Das ist das hier: [mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vex a)*\vec [/mm] n=0$
[mm] \vec{a} [/mm] ist der Aufpunktvektor, also ein Punkt in der Ebene. Du nimmst dafür [mm] \vec{N}. [/mm] Und [mm] \vec{n} [/mm] ist der Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das ist aber der Vektor zwischen Kreismittelpunkt und N, also [mm] $(\vec [/mm] N - [mm] \vec [/mm] M)$
Zusammen also
[mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vec N)*(\vec [/mm] N - [mm] \vec [/mm] M)=0$
Gleichzeitig hast du deine Grade $g: \ [mm] \vec [/mm] x= [mm] \vec [/mm] M + [mm] r*(\vec [/mm] P - [mm] \vec [/mm] M)$. (das ist übrigens die Parameterform) Nun sollen sich die Ebene und die Grade schneiden, sprich, [mm] \vec{x} [/mm] soll gleich sein. Also setzen wir doch die Grade einfach in die Ebene ein:
[mm] $([\vec [/mm] M + [mm] r*(\vec [/mm] P - [mm] \vec [/mm] M)] - [mm] \vec N)*(\vec [/mm] N - [mm] \vec [/mm] M)=0$
Zugegeben, das ist etwas lang... Aber wenn du die Zahlen einsetzt, sollte das ziemlich schnell ziemlich einfach werden. Als einzige Unbekannte ist die reelle Zahl r da drin, und die kannst du ausrechnen!
Wenn du dieses r wieder in die Grade einsetzt, hast du deinen Schnittpunkt!
P.S.: Soetwas wie 3x+4y+5z=6 wäre die Koordinatenform.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Do 07.12.2006 | | Autor: | riwe |
ich denke, so könnte es gehen:
normalenvektor zum tangentenplan E(=tangentialebene) [mm] \vec{n}=\overrightarrow{MN}=\vektor{0\\0\\7}\sim\vektor{0\\0\\1}.
[/mm]
daher lautet die koordinatenform der tangentialebene: z = 8.
gerade (=linie) l durch PM:
[mm] \vec{x}=\vektor{1\\2\\1}+t\vektor{2\\3\\6}
[/mm]
E mit l schneiden: [mm]8 = 1 + 6t \to t =\frac{7}{6}[/mm]
ergibt den schnittpunkt [mm] S(\frac{10}{3}/\frac{11}{3}/8)
[/mm]
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