Schnittpunkt von Strahl/Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Di 08.08.2006 | | Autor: | matzef |
| Aufgabe | | Ich habe eine Gerade, die durch zwei Punkte (Q, R) in einem zweidimensionalen Koordinatensystem definiert ist und einen Punkt (P) von dem ein Strahl in einem bestimmten Winkel ausgeht. Nun möchte ich den Punkt (O) bestimmen, an dem der Strahl die Gerade schneidet, um dann den Abstand zwischen dem Ausgangspunkt des Strahls und dem Schnittpunkt zu berechnen. |
Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> Ich habe eine Gerade, die durch zwei Punkte (Q, R) in einem
> zweidimensionalen Koordinatensystem definiert ist und einen
> Punkt (P) von dem ein Strahl in einem bestimmten Winkel
> ausgeht. Nun möchte ich den Punkt (O) bestimmen, an dem der
> Strahl die Gerade schneidet, um dann den Abstand zwischen
> dem Ausgangspunkt des Strahls und dem Schnittpunkt zu
> berechnen.
> Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
Das scheint mir nicht wirklich schwierig. 
"Berechne" erst eine Form der Geraden, die durch Q und R bestimmt ist. So dass du etwas der Form y=ax+b erhältst, das dürfte nicht schwierig sein (weiß gerade nicht, wie das heißt, wie man das macht...). Dann machst du das Gleiche für den Strahl von P aus. Dafür berechnest du die Steigung (du kennst ja den Punkt P und durch den Winkel kannst du auch einen beliebigen anderen Punkt bestimmen, und dann weiter wie bei Q und R.
Und dann berechnest du einfach durch Gleichsetzen den Schnittpunkt beider Geraden.
Darfst aber auch gerne deine genauen Punkte und deine Ansätze posten, dann helfen wir weiter.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mi 09.08.2006 | | Autor: | matzef |
Okay. Bin aus der Schule schon einige Zeit raus. Ich poste einfach mal die Werte, die ich mir hier in meiner Skizze hergenommen habe.
P (1,1), 45°
Q(2,4)
R(6,3)
O(?,?)
Wenn ich das mal in einem kompletten Beispiel sehen könnte, wäre echt Klasse. Danke schon mal bis hierher.
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Hallo matze!
Du musst aus den gegebenen Werte zunächst jeweils eine Geradengleichung (allgemeine Form: $y \ = \ m*x+b$ ) ermitteln.
Beginnen wir mit dem Punkt $P_$ und dem gegebenen Winkel [mm] $\alpha [/mm] \ = \ 45°$ ...
Hier verwenden wir die Punkt-Steigungs-Form : $m \ = \ [mm] \tan(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_P}{x-x_P}$
[/mm]
Werte einsetzen liefert: [mm] $\tan(45°) [/mm] \ = \ 1 \ = \ [mm] \bruch{y-1}{x-1}$
[/mm]
Nun in die Form $y \ = \ ...$ umstellen.
Bei der 2. Gerade, die durch $Q_$ und $R_$ beschrieben wird, funktioniert es ähnlich; allerdings mit der 2-Punkte-Form :
[mm] $\bruch{y-y_Q}{x-x_Q} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y_R-y_Q}{x_R-x_Q}$
[/mm]
Auch hier die entsprechenden Werte einsetzen und nach $y \ = \ ...$ umstellen:
[mm] $\bruch{y-4}{x-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3-4}{6-2}$
[/mm]
Um nun den Schnittpunkt $O_$ zu erhalten musst Du diese beiden Geradengleichungen gleichsetzen und nach $x \ = \ ...$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mi 09.08.2006 | | Autor: | matzef |
Bitte entschuldigt, die wahrscheinlich völlig nervige Frage: Wie funktioniert das mit dem umstellen nochmal?
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Hallo Matze und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bitte entschuldigt, die wahrscheinlich völlig nervige
> Frage: Wie funktioniert das mit dem umstellen nochmal?
Roadrunner schrieb:
> $ [mm] \tan(45°) [/mm] \ = \ 1 \ = \ [mm] \bruch{y-1}{x-1} [/mm] $
> Nun in die Form $ y \ = \ ... $ umstellen.
Das heißt, die Gleichung $1 \ = \ [mm] \bruch{y-1}{x-1} [/mm] $ nach y auflösen:
$1 \ = \ [mm] \bruch{y-1}{x-1} [/mm] $ | $*(x-1)$ beide Seiten mit (x-1) multiplizieren
$x-1=y-1 [mm] \gdw [/mm] y = x$ auf beiden Seiten 1 addieren.
Damit lautet die Geradengleichung dürch P: $y = x$
Nun die Gerade durch Q und R:
$ [mm] \bruch{y-4}{x-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3-4}{6-2} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{4}$ [/mm] wieder nach y auflösen - wie oben.
Probierst du mal?
Zum Schluss hast du zwei Gleichungen in der Form y=... , die du durch Gleichsetzen der rechten Seiten lösen kannst; dh. du erhältst einen Wert für x, den du in eine der beiden Gleichungen einsetzt, um y zu bestimmen.
(x|y) ist dann der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 09.08.2006 | | Autor: | matzef |
Kann mich erinnern, dass mir das schon damals schwer gefallen ist :-(
[mm] \bruch{x + 1}{y - 4} [/mm] | [mm] \* [/mm] (y - 4)
x - 4 = y + 1 | - 1
x - 5 = y
Hm. Weiss nicht ob das so stimmt.
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Hallo matze!
Du musst hier aber auch eine Gleichung umformen, und nicht nur einen Term! Zudem hast Du hier auch mit falschen Werten bzw. Variablen gerechnet:
[mm]\bruch{y-4}{x - 2} \ \red{= \ -\bruch{1}{4}}[/mm] | [mm]*(x - 2)[/mm]
Dann wird hieraus:
$y-4 \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*(x-2) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*x-\bruch{1}{4}*(-2) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*x+\bruch{1}{2}$
[/mm]
Wie lautet nun der letzte Schritt?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 09.08.2006 | | Autor: | matzef |
| Aufgabe | | Viel peinlicher kann es jetzt nicht mehr werden. |
Nehme an +4?
y = [mm] \bruch{-1}{4}x+2?
[/mm]
Und dann?
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Hallo matze!
> Nehme an +4?
Das stimmt ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> y = [mm]\bruch{-1}{4}x+2?[/mm]
Das stimmt leider nicht ... ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , da ja gilt:
[mm] $\bruch{1}{2}+4 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{8}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+8}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9}{2}$
[/mm]
> Und dann?
Um nun den gesuchten Schnittpunkt auszurechnen, musst Du die beiden Geradengleichungen gleichsetzen:
$x \ = \ y \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*x+\bruch{9}{2}$
[/mm]
Nun also die Gleichung $x \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*x+\bruch{9}{2}$ [/mm] nach $x_$ auflösen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 09.08.2006 | | Autor: | matzef |
x = -0,25x + 4,5 | -4,5
x - 4,5 = -0,25x | -x
-4,5 = -1,25x | : -1,25
3,6 = x
Diesmal richtig?
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Hallo matze!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Und nun noch den zugehörigen y-Wert "berechnen" ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 09.08.2006 | | Autor: | matzef |
Mal davon abgesehen, dass wir bereits festgestellt haben, dass y = x ist, ist ja eigentlich nichts mehr zu berechnen (stimmt auch mit meiner Skizze überein).
Aber die Formel lautete:
y = m * x + b
Also:
y = tan(45) * 3,6 + ?
Was muss ich für das "b" einsetzen?
Vielen Dank an euch!
Das Forum hier ist erste Sahne!
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Hallo matze!
Bei der Geradengleichung $y \ = \ x$ kann man auch schreiben: $y \ = \ [mm] \red{1}*x+ [/mm] \ [mm] \blue{0}$ [/mm] .
Welchen Wert hat also $b_$ ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Mi 09.08.2006 | | Autor: | matzef |
Okay. In diesem Fall für "b" natürlich "0". Wozu braucht man das "b" sonst - steht ja nicht zum Spass da, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Mi 09.08.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo matze!
Wie in meiner letzten Überschrift bereits angedeutet, gibt der Wert $b_$ den sogenannten "y-Achsenabschnitt" an. Das ist also der Wert, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet.
Gruß vom
Roadrunner
So, schönen Feierabend ... ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]") !
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Es ist viel einfacher und schneller, aus der Gerade eine Ebene (senkrecht zur Zeichenebene) zu machen und dann mit der Hesse-Formel den Abstand des Punktes auf die Ebene zu berechnen.
Hab jetzt grade leider keine Zeit mehr, kann die Lösung aber nachher gerne posten, falls erwünscht ;)
LG Karpfen
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Später angehangen:
Also: Wir haben folgende zugrunde liegende Vektoren:
[mm] OR = \vektor{6 \\ 3 \\ 0}; RQ = \vektor{-4 \\ 1 \\ 0}; RS = \vektor{-4 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Hier ist RS ein Vektor, der mit RQ eine Ebene aufspannt:
[mm] E: x= \vektor{6 \\ 3 \\ 0} + t * \vektor{-4 \\ 1 \\ 0} + s*\vektor{-4 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Bilden wir den Normalenvektor der Ebene durch Kreuzprodukt von RQ und RS:
[mm] n = \vektor{1 \\ 4 \\ 0} [/mm]
Hier mit ist die Ebene in Parameterform [mm] E: 1x+4y+0z = b [/mm]
b erhalten wir aus n * RQ = 0.
Einsetzen in die Hesse'sche Normalenform:
[mm] d = \bruch{1*1+4*1+0*0 - 0}{\wurzel{1^2+4^2}} = \bruch{5}{\wurzel{17}} [/mm]
Das war's, ich hoffe es ist richtig. Ist schon was her, seit ich das in der Schule gemacht habe ;)
LG Karpfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Mi 09.08.2006 | | Autor: | matzef |
Gern. Da ich das ganze später in der Programmierung umsetzen möchte, ist mir ein weiterer Lösungsansatz willkommen - dann kann ich schauen, was sich performanter umsetzen lässt.
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So, habe meine obige Antwort aktualisiert, da steht die Lösung drin.
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