Schnittpunkt zweier Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
haben die beiden Geraden g:x= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}+r\vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
und [mm] h:x=\vektor{3 \\ -2 \\ 4}+t\vektor{2 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
einen Schnittpunkt?
Mein Mathebuch sagt ja, allerdings sind die Vektoren u , v und q-p nicht linear abhängig zueinander. Allerdings ist dies Voraussetzung dafür, dass es einen Schnittpunkte geben soll. Oder?
Ich habe dann einfach mal mit der linearen Abhängigkeit von u und q-p weitergearbeitet und den Schnittpunkt [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 4} [/mm] herausbekommen.
Ist das richtig so?!
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 So 06.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> haben die beiden Geraden g:x= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}+r\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> und [mm]h:x=\vektor{3 \\ -2 \\ 4}+t\vektor{2 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> einen
> Schnittpunkt?
> Mein Mathebuch sagt ja, allerdings sind die Vektoren u , v
> und q-p nicht linear abhängig zueinander. Allerdings ist
> dies Voraussetzung dafür, dass es einen Schnittpunkte
> geben soll. Oder?
> Ich habe dann einfach mal mit der linearen Abhängigkeit
> von u und q-p weitergearbeitet und den Schnittpunkt
> [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 4}[/mm] herausbekommen.
> Ist das richtig so?!
Ja, der schnittpunkt stimmt.
Was und wie Du gerechnet hast, kann ich nur vermuten, denn Du sagst nicht, was u,v,p und q sind.
Für die berechnung des schnittpunktes löse doch einfach das simple LGS
1+r=3+2t
-r=-2+3t
2+r=4
FRED
>
> MFG
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q und p sind die beiden stützvektoren und v und u die beiden richtungsvektoren.
also reicht es auch wenn einer der beiden v und u mit dem vektor q-p linear abhängig sind und es müssen nicht alle drei (v;p;q-p) linear abhängig sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 06.01.2013 | | Autor: | Herby |
Hallo Judithlein,
> q und p sind die beiden stützvektoren und v und u die
> beiden richtungsvektoren.
>
> also reicht es auch wenn einer der beiden v und u mit dem
> vektor q-p linear abhängig sind und es müssen nicht alle
> drei (v;p;q-p) linear abhängig sein?
du meinst [mm] (v;\blue{u};q-p)
[/mm]
"es reicht also auch ..." - hier hast du nicht gesagt zu 'was' soll das reichen.
Allgemein gilt: Sind die Vektoren [mm]a_1,\ a_2,\ ...,\ a_n[/mm] linear abhängig, so ist [mm] \text{mindestens} [/mm] einer der Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellbar.
LG
Herby
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Hallo Judith,
die beiden Geraden können doch nur dann einen Schnittpunkt haben, wenn die beiden Richtungsvektoren zusammen mit der Strecke zwischen den beiden Stützpunkten (bzw. der Vektor vom einen zum andern) in einer Ebene liegen. Das reicht allerdings noch nicht ganz aus, ist aber eben eine notwendige Bedingung.
> q und p sind die beiden stützvektoren und v und u die
> beiden richtungsvektoren.
>
> also reicht es auch wenn einer der beiden v und u mit dem
> vektor q-p linear abhängig sind und es müssen nicht alle
> drei (v;p;q-p) linear abhängig sein?
Nein, das reicht nicht aus. [mm] \vec{u},\;\vec{v},\;(\vec{q}-\vec{p}) [/mm] müssen linear abhängig sein. Wenn [mm] \vec{u},\;\vec{v}) [/mm] linear abhängig sind, dann muss auch [mm] (\vec{q}-\vec{p}) [/mm] ein Vielfaches eines (oder beider) der zwei Richtungsvektoren [mm] \vec{u},\;\vec{v} [/mm] sein. In diesem Fall sind die beiden Geraden identisch.
Grüße
reverend
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