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Forum "Sonstiges" - Schnittpunkte Kreis Tangenten
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Schnittpunkte Kreis Tangenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Mi 21.09.2016
Autor: hase-hh

Aufgabe
An einem kugelförmigen Behälter sind zwei Halteseile angebracht. Diese Halteseile sind am Kugelquerschnitt und im Boden an den Punkten A (5 / -10) und B (-5 / -10) befestigt.

Der Kugelquerschnitt hat den Mittelpunkt im Ursprung und den Radius r = 2 (m).

In welchen Punkten P und Q sind die Seile an der Kugel befestigt?

Moin Moin!

Ich habe zunächst die Kreisgleichung aufgestellt.

k:  [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4


Es müssen die Tangenten an den Kreis gelegt werden, die durch A bzw. B laufen und den Kreis in P bzw. Q berühren.

Ich habe nun den Kreis und das Dreieck  MPA   (sowie das Dreieck MQB)  gezeichnet.


Das Dreieck MPA hat in A einen rechten Winkel, sonst würde die Tangente durch A und P keine Tangente sein.

Über den Pythagoras kann ich die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] berechnen...

[mm] |\overrightarrow{AP}|^2 [/mm] = [mm] |\overrightarrow{AM}|^2 [/mm] - [mm] r^2 [/mm]

= 125 - 4 = 121

=> [mm] |\overrightarrow{AP}| [/mm] = 11



Ich möchte nun die Steigung der Tangente berechnen...

Dazu betrachte ich den Winkel MAP  -> tan(MAP) = [mm] \bruch{2}{11} [/mm]

und den Winkel AZM des Dreiecks AZM mit Z (0 / -10) -> tan(AZM) = [mm] \bruch{10}{5} [/mm]  

Die Steigung m der Tangente ist dann [mm] m_1 [/mm] =  2 + [mm] \bruch{2}{11} [/mm] = [mm] \bruch{24}{11} [/mm]   bzw. da die Tangente fällt [mm] m_1 [/mm] = - [mm] \bruch{24}{11} [/mm]

Daraus folgt, dass die Hilfsgerade h durch M und P die Steigung [mm] m_2 [/mm] = + [mm] \bruch{11}{24} [/mm]

h: y = [mm] \bruch{11}{24}*x [/mm] +0     [Da M (0/0) !! ]


Einsetzen von h in die Kreisgleichung...


[mm] x^2 [/mm] +  [mm] (\bruch{11}{24}*x)^2 [/mm] = 4


[mm] x_{1/2} [/mm] = +/ -  1,818129646

[mm] y_{1/2} [/mm] = +/ -  0,833309421

Daraus würde folgen  P (- 1,818129646 / - 0,833309421)

Leider ergibt sich dann [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \vektor{1,818129646 \\ 0,833309421} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ -10} [/mm] = [mm] \vektor{-3,181870354 \\ 10,83330942} [/mm]


Die Länge dieses Vektors beträgt 11,29 -> also viel zu lang!!



???


Danke & Gruß!











        
Bezug
Schnittpunkte Kreis Tangenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Mi 21.09.2016
Autor: leduart

Hallo
dein dicker Fehler; tan(a+b) [mm] \not= [/mm] tan(a)+tan(b)
warum nicht den Kreis um 0 mit dem um A mit r=11 schneiden? oder Thaleskreis  um MA
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Schnittpunkte Kreis Tangenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Mi 21.09.2016
Autor: hase-hh

Vielen Dank!


1. Lösung über Thaleskreis... nur kurze Anmerkung

[mm] \overrightarrow{MA} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -10} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -10} [/mm]

[mm] \overrightarrow{OM_{T}} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OM} +\bruch{1}{2}*\vektor{5 \\ -10} [/mm]

[mm] M_{T} [/mm] =  [mm] \vektor{2,5 \\ -5} [/mm]

[mm] r_{T} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*| \vektor{5 \\ -10} [/mm] |  = [mm] 2,5*\wurzel{5} \approx [/mm] 5,6

[mm] (x-2,5)^2 [/mm] + [mm] (y+5)^2 [/mm] = 31,25

... und dann die Schnittpunkte des Thaleskreises mit dem Kreis berechnen...


2. Lösung über Hilfskreis mit Mittelpunkt A und Radius r=11.

I. [mm] x^2 +y^2 [/mm] = 4

II. [mm] (x-5)^2 +(y+109)^2 [/mm] = 121

I. [mm] x^2 [/mm] +y2 = 4

II. [mm] x^2 [/mm] -10x +25 [mm] +y^2 [/mm] +20y +100 = 121

II.-I.

-10x +25 +20y +100 = 121

=> x = 2y + 0,8  

in I. einsetzen


[mm] (2y+0,8)^2 +y^2 [/mm] = 4

[mm] y^2 [/mm] +0,64y -0,672 = 0

[mm] y_1 [/mm] = 0,56  =>  [mm] x_1 [/mm] = 1,92    
[mm] y_2 [/mm] = -1,2   =>  [mm] x_2 [/mm] = -1,6

Da P im 1. Quadranten liegt, lautet P (1,92 / 0,56)


Probe:

[mm] \overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \vektor{-3,08 \\ 10,56} [/mm]

| [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] | = 11    


3. Lösungsweg über Winkelberechnung und Tangens...

Ich muss also zunächst die Winkel berechnen...

[mm] tan(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{2}{11} [/mm] => 10,3°

[mm] tan(\delta) [/mm] = [mm] \bruch{10}{5} [/mm] = 2 => 63,4°

=>  [mm] \alpha [/mm] + [mm] \delta [/mm] = 10,3° + 63,4!° = 73,7°

Jetzt m berechnen:   m = - tan(73,7°) = -3,42

daraus folgt   für die Normale    y = [mm] \bruch{1}{3,42}*x [/mm]

y=0,29*x


in Kreisgleichung einsetzen

[mm] x^2 [/mm] + [mm] (0,29x)^2 [/mm] = 4


=>  [mm] x_{1/2} [/mm] = + - 1,92    =>  [mm] y_{1/2} [/mm] = + - 0,56    

usw.










Bezug
                        
Bezug
Schnittpunkte Kreis Tangenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:32 Do 22.09.2016
Autor: leduart

Hallo
sieht richtig aus, Zahlenwerte hab ich nicht überprüft, aber da es 2 Tangenten gibt, wer sagt, dass die Seile nicht überkreuz gehen? also warum im 1. Quadranten. oder steht davon was in der Aufgabe, das ich überlesen habe?
Gruß leduart

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