Schnittpunkte zweier Ellipsen < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:25 Mo 27.07.2015 | | Autor: | just |
| Aufgabe | Gegeben seien die beiden Ellipsen:
[mm] x^2+9y^2=9, 9x^2+y^2=9
[/mm]
Bestimmen Sie die Schnittpunkte numerisch mit Hilfe des Newton-Verfahrens, indem Sie das Problem umformulieren als Nullstellen einer Funktion [mm] F(\vektor{x \\ y}). [/mm] Führen Sie einen Schritt des Newton-Verfahrens zum Startwert [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] aus und geben Sie die Iterierte [mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1}} [/mm] an. |
Hallo Leute,
Ich habe über die Suchfunktion kein passendes Thread zu dem Thema finden können.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß an sich mit dem Newton-Verfahren umzugehen und habe in vielen Beispielen damit Nullstellen bestimmt.
Nun sitze ich vor dieser Aufgabe jedoch mit Fragezeichen über dem Kopf, da mir folgendes Wissen fehlt:
a) wie gehe ich damit um, nun zwei Variablen in einer Gleichung zu haben?
b) wie komme ich überhaupt darauf einen Schnittpunkt mit dem Newton-Verfahren zu berechnen?
Zunächst soll ich das Problem umformulieren. OK, ich setze also beide Gleichungen =0 und erhalte
[mm] f(\vektor{x \\ y})=\vektor{x^2+9y^2-9 \\ 9x^2+y^2-9}
[/mm]
Jetzt leite ich beide gleichungen einmal nach x und einmal nach y ab:
[mm] f_{x}'(\vektor{x \\ y})=\vektor{2x \\ 18x}
[/mm]
[mm] f_{y}'(\vektor{x \\ y})=\vektor{18y \\ 2y}
[/mm]
Diese Ergebnisse trage ich nun in eine Jacobi-Matrix ein:
[mm] J_{F}(x,y)=\pmat{ 2x & 18y \\ 18x & 2y }
[/mm]
Und da verließen sie ihn leider. Ich verstehe anhand meiner Unterlagen nicht, wie ich nun weiter machen soll, da sich alle Beispiele nur mit einer Gleichung beschäftigen.
Hab ich mir das bis hierhin richtig gedacht?
Oder ist das ein ganz falscher Ansatz und ich muss aus den beiden Gleichungen eine einzige machen?
Oder muss ich das ganze für jede Gleichung einmal machen?
Für einen Schubs in die richtige Richtung wäre ich sehr dankbar!
lg
just
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> Gegeben seien die beiden Ellipsen:
> [mm]x^2+9y^2=9, 9x^2+y^2=9[/mm]
> Bestimmen Sie die Schnittpunkte
> numerisch mit Hilfe des Newton-Verfahrens, indem Sie ....
Hallo just,
bevor ich ev. auf die Lösung mittels Newton-Verfahren eingehe,
kann ich es mir nicht verkneifen, festzustellen, dass das
Newton-Verfahren eigentlich viel zu schweres Geschütz für
die vorliegende Aufgabe ist.
Man kann nämlich sofort sehen, dass die beiden Ellipsen
zueinander kongruent sind, mit demselben Zentrum im
Koordinatenursprung, und nur um 90° gegeneinander
verdreht. Daraus ergibt sich sofort, dass die Schnittpunkte
auf den beiden Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen
liegen müssen, und zwar alle im gleichen Abstand vom
Ursprung. Die 4 Schnittpunkte sind also
[mm] S_1(k|k) [/mm] , [mm] S_2(-k|k) [/mm] , [mm] S_3(-k|-k) [/mm] , [mm] S_4(k|-k)
[/mm]
mit einer noch zu bestimmenden Konstanten k . Diese
erhält man sofort aus der Gleichung
[mm] k^2+9k^2=9
[/mm]
also [mm] k^2=0.9 [/mm] und damit (positive Lösung genügt)
[mm] k=\sqrt{0.9}\approx [/mm] 0.94868
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Mo 27.07.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo Al,
das ist uns allen (oder zumindest mehrheitlich) klar, dass es auch einfacher geht.
Aber auch die Beherrschung des Newton-Verfahrens ist für Studenten erstrebenswert, und dafür erfordert es (für den Anfang) nicht allzu schwere Beispielaufgaben.
In diesem Zusammenhang ist es (zur Selbstkontrolle, ob man Newton richtig angewendet hat) sicherlich hilfreich zu wissen, dass [mm]x=\pm y[/mm] ist und dass da was mit [mm] $\sqrt{0.9}$ [/mm] herauskommen muss.
Gruß Abakus
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Hallo just
da bin ich noch einmal.
> Gegeben seien die beiden Ellipsen:
> [mm]x^2+9y^2=9\quad,\quad 9x^2+y^2=9[/mm]
> Bestimmen Sie die Schnittpunkte
> numerisch mit Hilfe des Newton-Verfahrens, indem Sie das
> Problem umformulieren als Nullstellen einer Funktion
> [mm]F(\vektor{x \\ y}).[/mm] Führen Sie einen Schritt des
> Newton-Verfahrens zum Startwert [mm]\vektor{x_{0} \\ y_{0}}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> aus und geben Sie die Iterierte [mm]\vektor{x_{1} \\ y_{1}}[/mm]
> an.
> Zunächst soll ich das Problem umformulieren. OK, ich setze
> also beide Gleichungen =0 und erhalte
> [mm]f(\vektor{x \\ y})=\vektor{x^2+9y^2-9 \\ 9x^2+y^2-9}[/mm]
>
> Jetzt leite ich beide Gleichungen einmal nach x und einmal
> nach y ab:
> [mm]f_{x}'(\vektor{x \\ y})=\vektor{2x \\ 18x}[/mm]
>
> [mm]f_{y}'(\vektor{x \\ y})=\vektor{18y \\ 2y}[/mm]
>
> Diese Ergebnisse trage ich nun in eine Jacobi-Matrix ein:
> [mm]J_{F}(x,y)=\pmat{ 2x & 18y \\ 18x & 2y }[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Soweit alles richtig durchgeführt !
Ich schreibe von nun an X anstelle des Vektors [mm] \pmat{x\\y} [/mm] .
Die Funktion schreibe ich mit dem Großbuchstaben F.
Die Rekursionsformel für das 2D-Newtonverfahren ist dann:
$\ [mm] X_{n+1}\ [/mm] :=\ [mm] X_n\ [/mm] - [mm] \left(J_F(X_n)\right)^{-1}\ [/mm] * [mm] F(X_n)$
[/mm]
Da in der vorliegenden Aufgabe nur ein einziger Newton-Schritt
durchgeführt werden soll, kann man es sich rechnerisch auch
besonders leicht machen und die Matrixinverse nur für den
einen konkreten Fall berechnen. Damit haben wir:
[mm]\ X_0\ =\ \vektor{x_{0} \\ y_{0}}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
$\ [mm] X_1\ [/mm] =\ [mm] X_0\ [/mm] -\ [mm] \left(J_F(X_0)\right)^{-1}\ [/mm] * [mm] F(X_0)\ [/mm] =\ [mm] \vektor{1 \\ 1}\ [/mm] -\ [mm] \pmat{ 2*1 & 18*1 \\ 18*1 & 2*1 }^{-1}\ [/mm] *\ [mm] F\left(\pmat{1\\1}\right)$
[/mm]
Das wäre jetzt nur noch auszurechnen.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 27.07.2015 | | Autor: | just |
Danke, ihr Lieben!
Dann hatte ich es ja im Grunde schon.
Jetzt macht das ganze für mich auch Sinn:
Normalerweise teile ich den Funktionswert durch die Ableitung, um mich dem Schnittpunkt zu nähren. Da ich nun aber mehrere Gleichungen und Funktionswerte habe, muss ich "mit den Werten irgendwo hin". Dafür ist die Jacobi-Matrix gut. So kann ich mit einer Matrixrechnung alles benötigte in einem Schritt erfahren.
Ich hab das mit Matlab mal ein paar Iterationen gemacht und siehe da:
[mm] x_{n}=\vektor{\wurzel{0.9} \\ \wurzel{0.9}}
[/mm]
Dankeschön!
just
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Ich habe nur den einen (in der Aufgabenstellung verlangten)
Iterationsschritt durchgerechnet.
Aus [mm] X_0=\pmat{1\\1} [/mm] erhält man dabei den Vektor [mm] X_1=\pmat{0.95\\0.95} [/mm] ,
der schon sehr nahe beim zu findenden Wert [mm] $\pmat{\sqrt{0.9}\\ \sqrt{0.9}}\ \approx\ \pmat{0.94868\\0.94868}$ [/mm] liegt.
LG , Al-Chw.
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